710 Winckler. 



b\ , 363 565 (2m + 1) 6a"t+i 



' Q2 i.,2 "•" «2 /...2 I • ■ ' I ftt „, i 7T> /i„5( t ' ■ 



1« — 4rt2 ' 32_4„2 33 _ 4„3 ' ' (2m+l)2— 4«3 



= — I <f (o^) cos 2wa? c?^ = — «2rt • • • (4) 



Die Gleichungen (1) bis (4) sind von besonderem Interesse, 

 weil sie zeigen, dass dieEntwickelungs-Coefficienten «und b, welche 

 sich auf eine und dieselbe Function ^ (.r) beziehen, gegenseitig der 

 eine durch den andern und zwar, wie man sieht, vermittelst unend- 

 licher Reihen bestimmt ist. 



18. 



Nach diesen Bemerkungen kehre ich zu den in Art. 15 und 16 

 begründeten Formeln zurück, um einige noch speciellere Anwendun- 

 gen von denselben zu machen. 



Wie schon Euler fand, besteht die Gleichung: 



X . sin Zx sin 3x sin ix 



(D ix) = — = sm o; f- • • . 



^^ ^ 2 2 ' 3 4 ' 



SO lange, als x zwischen den Grenzen und n liegt; auch ist bekannt, 

 dass unter denselben Bedingungen: 



Tt . sin 3a; sin ^x sin Ix 



ist. Wendet man auf diese beiden Entwickelungen den Satz (II) des 

 Art. 16 an, so ergibt sich: 



1 1 1 2 / TT a- , 7:2 



IH 1 1- ... =-/ - . - dx = — 



^ 32 ^ 52 ^ 72 ^ TzJ i 2 8 







Ferner folgt aus der Gleichung (2) desselben Artikels : 



111 2 / ( x^,i , 7:3 



'22^32^42^ nj \2J 6 







Diese beiden Resultate stimmen mit bekannten Formeln überein. 



