Einige allgemeine Sätze zur Theorie der Reihen. 711 



Macht man ferner die Annahme, es sei ß = a, ohne jedoch 

 vorauszusetzen, dass a, ß ganze Zahlen seien, so findet sich das 

 weitere Resultat: 



"^LlJ"^L 1.2 J "^L 1.2.3 J"T"" /■(l4-a)r(l+a) 



wobei die Reihe linker Hand ohne Ende fortgeht. 



Es ist nicht ohne Interesse zu bemerken , dass aus den vorher- 

 gehenden Resultaten eine Reihe für den reciproken Werth des 

 Euler'schen Integrals erster Art abgeleitet werden kann. In der 

 That, da: 



r(l +a) = ar(a). F {\ -^ ß) = ß T {ß) 



und ebenso : 



r(l + a + ^) = (a + /9)rC/+^), 



so erhält man die Gleichung: 



«i? r^ ■ « ß . «(«-!) /?(/?-!) a(«-l)(a-2) /?(/?-!)(/?- 2) t 



a^pL '^l'l'' 1.2 ■ 1.2 "• 1.2.3 * 1.2.3 "' "J 



Für ß^\ — a erhält man ferner eine Reihe, welche den Werth 



sin a;r 

 des Ausdrucks darstellt. 



19. 



Geht man von der bekannten Gleichung 



sin-—) = log2-}- cos^-f — cos2a; + — cos3a7-f- ••• 

 aus, und wendet man darauf den Satz (1) des Art. 16 an, so erfolgt: 



\J [log sin ^"^dx = 2 [log 2]^ + 1 + 1 + ^^ + ^ -f • • . 







oder, mit Rücksicht auf die Resultate des Art. 18: 



|/[logsin^]'rfa; = 2[log2]'+^ 



