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einer Function die Summen neuer Reihen, wenigstens in Form be- 

 stimmter Integrale, abgeleitet werden können; zu diesem Ziele führt 

 auch noch die folgende Betrachtung. Angenommen, die gegebene 

 Reihe schreite nicht nur nach Sinus oder Cosinus der Vielfachen 

 von X, sondern gleichzeitig auch nach den Potenzen einer zweiten 

 Grösse u fort, und es sei: 



(p{x,\i) = AiU sin .r -f AoU^ sin 2.r + . . . + ^„m" sin nx -\- ... 



so kann für die innerhalb gewisser Grenzen willkürliche Grösse u 

 eine Function von x, und zwar: 



u = pe 

 gesetzt werden, und man wird haben : 



f \x,pe ) = 



Aipe smx-\-Azp~e sin2x-\-. ..-\-A,np"'e simnx-\- . . .{i) 



Auf gleiche Weise wird man aus einer zweiten Eiitwickelung 

 der bezeichneten Art: 



(p (^x,u) = BxU sin X -\- B^u^- siii2 x -\- . . .-\- BnU" sin nx + • • . 



die Reihe finden: 



^ \x,pe ) 



Bipe smx-\-Bzp'^e sin2^+. . . + 5„|0"e sinw.r + • • (2) 



Dieses vorausgesetzt multiplicire man die Gleichungen (1) und 

 (2) und integrire hierauf nach x zwischen den Grenzen und 7t, 

 so gelangt man, wie leicht zu sehen, zu der Gleichung: 



fixpe j (p{x,pe J dx = 







2^ AmB„p"'-<-" I e sin mx sin ?ix dx 



