Einige allg^emeine Sätze zur Theorie der Reihen. 715 



wobei das Summenzeichen sich über alle Werthe erstreckt, welche 

 erhalten werden, wenn man für m und n alle ganzen Zahlen 1,2, 3 . . . 

 setzt. Dem Ausdruck unter dem Integralzeichen kann man die Form: 



— V — 1 Jsin 2mx -\- sin 2nx — sin {2m -\- 2w) x\ 



-\ — ;- COS 2mx -\- cos 2nx — cos (2m + 2w) x — 1 1 



geben, aus welcher sich unmittelbar ersehen lässt, dass, wenn weder 

 m noch n Null ist: 



/• 



Sin mx sin nx ax = 



Hieraus folgt nun, dass die Gleichung: 



2'^,„5„p'»+" = — ^ 1 (f (.r,/)/"^"*) </; (x,pe'''^~^) dx 



stattfindet, um deren Begründung es sich handelte. 



Die durch das Summenzeichen angedeutete Doppelreihe, in ex- 

 plicirter Form dargestellt, ist die folgende : 



A,B,p^^{A,B, + Ä,B,)p^ + {A,B, + A,B, + A,B,) p'^ + . . . 



so dass also die Summe dieser Reihe durch das obige Integral gege- 

 ben ist. Offenbar gilt der Satz auch noch in dem Falle, wenn allge- 

 mein An = Bn ist. 



Das so eben befolgte Verfahren auf die beiden , als gegeben 

 vorausgesetzte Entwickelungen : 



<p {x,u^ = AiU cos X -\- A.:,u~ cos 2x -]- . .-{- A,nU"^cosmx + . . . 

 ^ {x,u) = BxU cos X -\- Bai- cos 2x -\- . .-\- Bn u" cosnx -f- . . . 



angewendet, führt zu dem Ergebnisse, dass, weil für alle von Null 

 verschiedene Werthe von m und n das Integral: 



/ 



e cos mx cos nx dx ^= 4- — 



' 4 



