Einige allgemeine Sätze zur Theorie der Reihen. .TIT 



gegeben und es werde in der ersten 



u = pe 

 in der letzten dagegen 



u = e 



gesetzt, und wenn dies geschehen, das Product der beiden Reihen 

 gebildet, so wird man die Gleichung erhalten: 



Ia,nbnp"' .e = ^[pe ) <P[e j 



worin für m und n alle ganzen Zahlen von bis oo zu setzen sind. 



Integrirt man nun diese Gleichung nach x zwischen den Gren- 

 zen — 71 und + 7t und bemerkt man, dass, so lange m und n von 

 einander verschieden sind: 



/ 





dx = / [cos {m — w) X -\- V — 1 sin (m — n) xl^dx = Q 



und nur in dem Falle, wenn ni = n ist, das Integral einen von 

 Null verschiedenen Werth, nämlich 2;r, erhält, so ist klar, dass 

 die aus der Multiplication und Integration hervorgehende Reihe die 

 folgende ist: 



«0^0 + »ibip + a^bip^ + -h ct,nb,np"' + . . . 



woraus der Parseval'sche Satz unmittelbar folgt, wenn man p = i 

 setzt. 



22. 



Wird in der soeben begründeten Gleichung u für p gesetzt und 

 dann deren rechte Seite durch f {ii) bezeichnet, so folgt: 



«0*0 + «l^lW + UzbiU^ + . . . -f (LnhuW" -j- . . . = f{u) 



