Die Perioden der quadratischen Zahlformen bei negativen Determinanten. $5 



Dies vorausgeschickt gelangt man zu folgenden Sätzen: 



a) Die obigen fünf Mittelfonnen reduciren sich auf drei, nämlich 

 auf eine bei einem ungeraden, und auf zwei hei einem geraden 

 Mittelgliede; denn wird in der ersten und vierten y = — x -j- H 

 gesetzt, so übergehen sie in die zweite und fünfte. Es haben 

 demnach die ungeraden Mittelformen nur die Gestalt (p, p, r), 

 die geraden hingegen werden durch (p, q) und (2 p, 2 p, r) 

 repräsentirt. Auf diese Weise gelangt man zu der Form 

 («, ab, c), die als der allgemeine Ausdruck jeder Schluss- 

 und Mittelform angesehen werden kann. 



b) Das Vorzeichen des Mittelgliedes ist bei Schluss- und Mittel- 

 formen willkürlich, indem (a, ab, c) bei x = x' — by in 

 (a, — ab, c) übergeht. 



c) Die Mittelform px s -\-px y -f — — y* erhält dadurch, dass 



man x = x' -f- y' und y = — 2 x — y setzt, die Gestalt 



qx* + qxy -] — y 3 . 



Eben so findet man auch bei geraden Formen: 



(»»»»*£) -(»»•»«•'-t 3 )- 



Jede Zerlegung von D in die Factoren p, q liefert daher 

 nicht mehr als eine Mittelform der unter a) angeführten 

 Gattungen. 



d) Mittelformen von der Gestalt (2 p, 2 p, 1 kommen nur bei 



D = 4 f -f- 1 und 8 w vor. Ist nämlich im ersten Falle 

 p = 4 tp + 1 , so wird auch q = 4 <p ! + 1 sein, und es 



erscheint als drittes Formglied = 2 (^ -j- ^') + 1 



eine ganze und ungerade Zahl. 



Ist, was den zweiten Fall anbelangt, D = 2 a mn, wo a > 2 

 und m, n ungerade Zahlen sind, so kann p = 2m, q = 2 a ~ i n 

 genommen werden , und man gelangt zur Mittelform 

 (4wi, 4w, m -f- 2 a ~-n) f die nach c) auch die Gestalt 

 (2 a n, 2 a n, m -\- 2 a ~- n) bekommen kann. 



e) Die Anzahl der ungeraden so wie der geraden Mittelformen 

 bei Determinanten von der Gestalt 4 <p -f 2 . 4(f \- 3, 8 <p -f 4 



3* 



