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hängt blos von der Menge der Zerlegungen des D in die zwei 



Factoren p und q ab. Besteht daher D aus n relativen Prim- 



factoren, so kann die Zerlegung bekanntlich auf eine 2 W ~ 1 



fache Art vorgenommen werden. Jedes dieser Factorenpaare 



gibt eine Mittelform, nur 1 X D liefert die Schlussform. Man 



erhält somit in diesem Falle 2 n ~ l — i Mittelformen. So 



kommen bei 315 = 3 2 X 5 X 7 wegen n = 3, drei, und 



bei 2100 = 2 2 X 3 X S 2 X T sieben derartige Formen vor. 



Was die Determinanten D = 4 <p -\- 1 und 8 <p anbelangt , so 



haben sie 2"™ 1 — 1 Mittelformen von der Gestalt (p, q), da man 



hier ganz die obige Schlusswcise anwenden kann. Überdies haben 



sie noch 2" -1 Formen von der Gestalt \2p, 2 p, 1 , indem jedes 



Factorenpaar ohne Ausnahme eine solche Form liefert. Daher haben 

 diese Determinanten im Ganzen 2" — 1 Mittelformen. So kommen 

 z. B. bei 105 = 3 X 5 X 7 sieben, bei 840 = 2=* X 3 X 5 X 1 

 aber 15 vor. 



Hieraus folgt, dass die Primzahlen und Primpotenzen von der 

 Gestalt 4 <p -\- 1 wegen n = i eine Mittelform haben, sie ist 

 (2, 2, 2 tp + 1)' eben s0 kommt bei D = 2'" eine von der Gestalt 

 (4, 4, 2"'~ 2 4~ 1) vor. Die übrigen Primzahlen und Primpotenzen 

 haben keine Mittelformen. 



3. Multiplication zweier quadratischen Zahl for- 

 men, deren ersten Coefficienten prim zu ein- 

 ander sin d. 



Die Aufgabe, die unter dem obigen Namen verstanden wird, 

 besteht darin, aus zwei Zahlformen derselben Determinante eine 

 dritte von der Beschaffenheit zu finden, dass sie alle Producte von 

 Zahlen der gegebenen Formen enthalte, überdies wie die beiden 

 Factoren gerade oder ungerade sei, und ihrer Determinante angehöre. 

 Hätte man vorerst die Formen p = a x z -f- b x y -j- cf und 

 p = rt'.p's -\- b'x'y' -\- c'y' z , worin b, b' ungerade sind, so wird 

 ihre Determinante 

 (1 ) D = Aac — b* = ia'c — b'* 



sein. 



