Die Perioden der quadratischen Zahlformen bei negativen Determinanten. 37 



Ferner erhält man: 



4 a p = (2 a x -f b y)* -f (4 a c — 6 a ) f/~ 

 4a'/)' = (2aV -f- 6'?/')- -f (4«Y — 6' a ) i/' a ; 



und wird in diesen Gleichungen 



* = lax + by z' = lax + 6' 3/' (2) 



gesetzt, so übergehen sie in: 



kap= z* -\- Dy* , ba'p' = z* -f Dy'~\ 



das Product hievon ist: 



tGaa'pp' = (zz' + i Dyy'Y -f D (zy' — i z y)\ (3) 



wo » = + 1 vorstellt, und im Verlaufe bestimmt wird. Ist nun 



pp' = ««' X a + b" XY + c" F a (4) 



eine den obigen Bedingungen genügende Form, so muss 



D = 4aa'c" — 6"*, (5) 



, ,, ,», , ,• • Z) + 6" s , />-H6" 2 



wesshalb b so zu bestimmen ist, dass - und ganze 



4 a 4 «' b 



Zahlen werden. Dem wird mit Rücksicht auf die Gleichung I) ent- 

 sprochen, wenn 



b" = 2a f -f b = 2a <p' -f- b' (6) 



genommen wird, mögen die Unbestimmten <p <p' was immer für ganze 

 Zahlen sein. Es würde wohl b" die geforderten Bedingungen auch 

 dann erfüllen, wenn etwa b' negativ genommen werden würde; dann 

 wäre jedoch das Resultat ein Product der Formen (a, b, c), 

 (af, — b', c); ist aber nach Nr. 1 das Vorzeichen des Mittelgliedes 

 nicht gleichgiltig, so darf es auch hier nicht geändert werden. Was 

 die Werthe von b" anbelangt, so sind sie alle in b" = 2ad <p -f ß 

 enthalten, wo ß^< aa', <p jedoch beliebig ist; würde es nämlich noch 

 eine Grösse ß' von derselben Beschaffenheit wie ß geben, so müsste 

 b" =ß' = ß (Mod. a) und zugleich auch b"=ß' = ß (Mod. a') 

 sein, d. h. ß' — ß wäre durch aa theilbar, was wegen ß' < aa nur 

 hei ß' = ß stattfinden kann. Die Folge hievon ist, dass man für die 

 Gl. 4 nur ein b" < aa' findet, und dass daher durch die Multiplication 



