Die Perioden der quadratischen Zahlformen l>ei negativen Determinanten. 39 



und Y = axij -f a x y -j- (b -f b') yy'. Der Werth von X 

 ändert sich nicht. 



1. Anmerkung. Wären a, a' nicht relative Primzahlen sondern 



etwa a = och, a = ah', so fordert 6) dass b = b' (Mod. 2 a) 

 sei; im entgegengesetzten Falle müsste eine der Formen 

 geändert weiden. Da ferner nach 8) b <p -\- c = o und 

 b'tp' -{- c' = o (Mod. a) ist, so findet man <p , tp' etwa in der 

 Gestalte = ol <p -f- m, f' = a</>' -j- m, dann übergeht 6) in 

 b" = 2a afp -f 2«w -f b = 2a aY' -f 2a' w' -f 6', 

 woraus sich die Werthe von </>, <p' also auch <p , tp' , b", c" 

 ergehen. 



Dieses Verfahren findet jedoch wegen obiger Congruenzen 

 bei geraden Formen, wenn a gerade ist, keine Anwendung. 



2. Anmerkung. Weil (a, b, c) = (c , — b, u) ist, so wird man 



auch (a, b, c) a = («, b, c) (c, — b, a) erhalten, und es 

 reicht diese Methode zum Quadriren der Formen aus. 



3. Anmerkung. Schon Lagrange und Legendre multiplicirten 



diese Zahlformen auf eine ähnliche Weise; sie erhielten aber 

 aus jeder Multiplication zweier Formen zwei verschiedene 

 Resultate, eines bei -\- b, -f- b' , das andere für -|- b und — b'. 

 Das vorstehende Verfahren verdient daher diesen Namen um 

 so mehr, als hier wie überall die Factoren nur ein Product 

 liefern, und beide zur Bildung desselben auf gleiche Weise 

 beitragen , wie dies aus den Werthen von b", c", X und Y 

 hervorgeht. Legendre ahnte zwar, wie Nr. 364 und 36H 

 seines Werkes: Essai sur la theovie des nombres (Eilit. sec. 

 1818) zeigt, die Periodicität dieser Formen, konnte sie jedoch 

 aus obigem Grunde nicht finden. 



4. Folgesätze. 



Aus dem vorigen Abschnitte geht zunächst Nachstehendes 

 hervor : 



a) Es können auch mehr als zwei Formen mit einander multi- 

 plicirt werden. Hätte man etwa p = («, b, c), p' =*= («', b', c) 

 p" = (a, ß, y), so ist analog Nr. 3 



b" = 2a tp -f b = 2«>' + b' = %a <p" + ß 



