Die Perioden der quadratischen Zahlformen bei negativen Determinanten. 4 I 



Demnach ist die Schlussform als das Quadrat ihrer selbst so 

 wie auch jeder ihrer Mittelformen anzusehen. 

 In besonderen Fällen hat man: 



i. bei p = ax z -f cy~, p~ = X 3 -f- acY z 



und X = aan z — cy z , Y = 2xy; 



2. für p = 2ax z + 2axy + cy\ p z = X 3 + Z) F 3 , 



X = 2aa? 2 _|. 2«^ -|- (« — c) ?/ 3 , y = 2#y + y 3 ; 



3. p = a*» + rf*y + ^ 3 , p« = P+^+^^ 



a 1 — 2c 



und X = aa? 8 -f. (« — 1) #y -f- — — ?/ 3 , 



Für Schlussformen ist in 1) und 3) « = 1 zu nehmen. 



fj Jeder Schlussform kann man in Berücksichtigung einer 

 andern Form aar 2 -f- bxy -f- cy % die Gestalt a?' a -f- 6a?y -f «et/' 3 

 geben, dann ist das Product dieser beiden Ausdrücke 



«X 3 + 6Xy+ cY z , 



wobei X = a?a?' — cyy' 



und y = axy' + afy -f- 6?/?/' bedeutet. 



Daher gibt jede Form mit der Schlussform multiplicirt sich 

 selbst zum Producte. 



Dem zu Folge ist eine unpaare Potenz einer Mittelform wieder 

 dieselbe Mittelform. 



5. Multiplication der Formen mit Potenzen. 



Vom Potenziren der Formen handelt Legendre in Nr. 362 

 etc.; dem vorgesetzten Ziele entspricht jedoch besser folgendes Ver- 

 fahren: Hätte man bei der Determinante D die zwei Formen 



p = a m x z -\- bxy -f- cy~, p' = «" x' z -\- b'x'y' -j- c'y' z , 



wo a zu D prim, und b = b' (Mod. 2 a) ist, so fordert ein ungera- 

 des b die Gleichung 



D = 4«" 1 c — b z = 4a" ti — b' z (1) 



