Die Perioden der quadratischen Zahlformen liei negativen Determinanten. 43 



liefern, so gehört die Form 5) zur Determinante D; denn es ist 



Aa m+n c" — b"~ = 4«'" . a " </> — 4«'" b <p — b z = 

 = 4 «'" {b f -f c) — 4 «'" b<p — b z 

 = 4 «"'<•— 6- - Z). 



Hierauf gibt die Gl. 5) 



16«'»+» />// = (4«™+» X -f 2b" Y)* + Z> (2 F)a 



dies mit 4) gliederweise verglichen gibt vorerst 



2Y=zy' + z'y 



oder Y = a m xy' -\- a" x'y -f i (ä -j- 6') ##'. (8) 



Ferner ist 



4« m +" X -f 2 6" F - »'»' — Dyy', 



welcher Ausdruck den Gl. 3) und 8) zufolge in 



4 a '" + " X = 4 « m + " xx' — 2a » (b" — 6') .vi/' — 2a" (b" — 6) #'# 

 -f (— bb" — b'b" + bb' — D) yy 



übergeht. 



Aus der Summe der Gl. 2) und 7) Gndet man 



b" — b' = 2a m <p + 2a n w = 2a n <p'; 



überdies gibt die Gl. 7) b" — b = 2a m (p. Was den Coefficienten 

 von yy' anbelangt, hat man 



(_ bb" — b'b" -f bb' -f 6"a — 4a"'+ n c") = (b" — b) (b" — b') 



— Aa m + n c" = 4«'» + " <f(p' — 4«"' + " c". 



Es ist also 



X = xx' — <p'xy' — <px'y -f <p<p'yy' — c"yy' 



oder X = (x — <py) (x' — <p'y') — c"yy', (9) 



b" — b' , 

 wobei <p = — bedeutet. 



Was die Formen mit einem geraden Mittelgliede betrifft, so ist 

 dieses Verfahren nach Gl. 6) nur für ein ungerades a brauchbar; 



