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des entgegengesetzten Falles wird im folgenden Abschnitte erwähnt 

 werden. Dann hat man 



{a m , 2b, c) (a n ,2b\ c) = a m + n X 3 + 2b" XY + c" Y\ 



wo vorerst <p, </> aus 2b <p -f- c = a n <p gesucht wird, wornach man 



b" = a m <p -j- b, c" = a m -" f 2 -f </>, <p' = — 



X = (x — <py) (V — <p'y') — c"yy' 



und F = a m xy' -j- a n x'y -\~ (b -f &') ?/?/' 



erhält. 



Anmerkung. Viel kürzer ist die Mnlliplication von (a"\ b, c) 

 (a " , b', c') wenn b ee — b' (Mod. 2 a). Ans dem eben Bewie- 

 senen geht nämlich hervor, dass 



(«'"-", b, a n c) (a n , b, a m ~ n c) = (>'", 6, c); 



überdies folgt aus der Annahme von 



b = •— V (Mod. 2a), (u n , b, a M ~" c) = (a n , — 6', c'), 



daher 



(a m , b, c) (a a ,b', c') = (a m ~ n , b, a » c) (a n , — b ', c') (a n , b', c') 



also nach Nr. 4 pc£. c und e = ( < a" l ~ n , b, a n c). 



Ist jedoch an den Werthen von X, I T gelegen, so muss die 

 Operation nach schicklicher Veränderung der Formen auf eine 

 andere Art vorgenommen werden. 



6. Die Potenzen von 2 in geraden Formen. 



Wenn man die Mittelformen (2, 2, — - — \ und (2, d), deren 



Quadrate Schlussformen sind, übergeht, so ist es als Ergänzung des 

 vorigen Abschnittes nothig, hier zweier besonderer Fälle zu erwähnen, 

 nämlich des Potenzirens von (4, 2, 2 k + 1) bei D = 8 k -j- 3, 

 und der Multiplikation von (2 m , 2b, c), (2 n ,2b', c'). 



a) Bei der Determinante 8 k + 3 kommen in ungeraden 

 Formen nur ungerade Zahlen vor, und in den geraden Formen 



