Die Perioden der quadratischen Zahlformen bei negativen Determinanten. 4£) 



erscheint von den Potenzen der Primzahl 2 hlos 4 nämlich in 



p = 4^ + 2^ + (2* + 1)2,*. 



Wollte man diese mit p = 4a/ 2 + 2x'y' -\- (2k -f 1) y* multi- 

 pliciren, so kann man zu den ungeraden Formen übergehen, dann ist 

 nach dem vorigen Abschnitte wegen 



a = a! = h — b' = in = n = 1 , <p = — 1,^ = 2 A\ 6" = — 1 

 c" = 2k + 1, p' = — 1, 



daher pp' = X • — X F -f (2k + 1) F 2 ; 



aber X = (2* + y) (2x' + y') - (2k + 1) yy 1 = 2X' 



folglich ist das Product 



pp' = 4X' 2 — 2X'F + (2Ä-+ 1) F 2 . 



Dasselbe Resultat liefert Nr. 3, indem bei (4, 2, 2£ -f 1) 

 (2k+ 1,-2, 4) die Gleichung b" = 4 50 -f 1 = (2k + 1) p' — 1 

 für ^ = £, <j>' = 2 lösbar ist; man erhält b" = 4/c -j- 1, c" = 2 Ä- -f- 1 

 also pp' = (8/fcrf 4) X 2 + (8 k + 2) IF-f (2Ä + 1) F 2 , 

 und wird hier Y = Y' — 2X gesetzt, so kommt 



pp' = 4X 2 — 2XF + (2k + 1) F' 2 



zum Vorschein. 



Ist demnach p = (4, 2, c), so hat man p~ = (4, — 2, c), 

 dann nach Nr. 4 c p 3 = (1, D), p* = (4, 2, c) u. s. vv., d. h. p 

 gibt eine Periode von 3 Gliedern. 



b) Was den zweiten Fall anbelangt, so sind b, b', c, c' unge- 

 rade, und man findet unter den ungeraden Formen bei D = 8 k — 1 

 auch zwei von der Gestalt 



p = 2 m ~~ x~ -\- bxy -f- cy z , p' = 2 n ~ 2 x' 2 -f- b x ' y' -f c'y' z , 



aus denen die obigen für x = 2t, x' = 2t' entstehen. Diese letzteren 

 geben 



pp' = 2'» + »-*X 2 + b"XY+ c"Y*. 

 Ist hier, wie vorausgesetzt wird, x zu y und x' zu y' prim, so 

 werden p, p , Fungerade, X hingegen = 2X' sein, und es ist in 

 geraden Formen 



pp' = 2'» + "- 9 X' 2 -f 2b"X'Y + c"F 2 . 



