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Da nun die mit p, p' bezeichneten Formen dieselben Zahlen 

 enthalten wie (2 m , 2b, c) und (2", 2b', c), so hat das Product 

 dieser letzteren Formen einen um zwei kleineren Exponenten, als 

 dies sonst bei ungeraden Formen geschehen würde. Übrigens 

 kommt in diesen Ausdrücken keine niedrigere Potenz von 2 als 8 

 vor, und zur Brauchbarkeit des Verfahrens ist erforderlich, dass 

 2b = 2b' (Mod. 8) stattfinde. 

 Anmerkung. Hieraus ist ersichtlich, dass man («'", 2b, c) mit 



(a n , 2b', c), wenn a gerade und grösser als 2 ist, nicht 



direct multipliciren könne. 



7. Die Quadratwurzel aus einer Schlussform ist 



entweder wieder die Sehlussform oder eine 



Mittel form. 



Dieser Satz ist die propositio inversa von Nr. 4 d, nämlich, 

 dass nur Schluss- und Mittel formen zu Quadraten erhoben Schluss- 

 formen geben. Legen dre beweist ihn für den speciellen Fall, dass 

 D eine Primzahl ist; zum vorstehenden Zwecke ist jedoch ein allge- 

 meiner Beweis erforderlich. Da ergeben sich zwei Hauptfälle, je 

 nachdem man es mit ungeraden oder mit geraden Formen zu 

 thun hat. 



Erster Fall. Kommt p 2 , wenn p eine ungerade D nicht 

 theilende Primzahl ist, in einer ungeraden Schlussform vor, so hat 

 man 



pi = j/2 -f- MN -f dN 2 



und D = Ad— 1. 



Hieraus folgt 



4p3 = (2M + N)* + DN\ 



und wenn man 



L = 2M+ N 

 setzt, 



4p* = IH fljv*, 



daher DN* = (2p -f L) (2p — L). 



