Die Perioden der quadratischen Zahl formen hei negativen Determinanten. 47 



Ist nun D = gh, so wird man 



2p + L = gA und 2p — L = kB (1) 



annehmen können, woraus dann A B = iV 2 folgt. Dieser letzten 

 Bedingung zufolge muss wieder A = t-E, B = u*E gesetzt werden, 

 so dass dann N = fw/2 wird. Die Summe der Gleichungen unter 

 I) ist 4/; = c/A + Aß, 



d.h. 4p = E(gt* -\- hu~). (2) 



Hier kann nicht E=o (Mod. 7;) sein, weil Letzteres dann 

 auch hei A, B, L, N und M der Fall wäre, oder mit anderen Worten, 

 es müsste M — p und N = sein, wo hier doch iV > o angesehen 

 wird. Auch kann E nicht = 2 gesetzt werden; denn dann wäre 

 2p = gt z -f /im 2 , wo wegen gh = 4d — 1 , g und h ungerade 

 sind. Wäre t = 2t', so müsste auch u — 2u' sein, und man hätte 

 gegen die Voraussetzung p = 2g t " 2 -|- 2 hu' 2 . 



Aber es kann auch nicht t — 2t' -\- 1 sein; denn dann wäre 

 ebenfalls u — 2u' -f- 1 , und man hätte 



2p = 4 {gt' 2 + gt' + Äw'* + hu) + g + h. 



Ist aber </ = + l (Mod. 4), so hat man h = + 1 , daher ist 

 // -|- h durch 4 theilhar, und p wäre wieder gerade. Es verbleiben 

 also nur zwei Fälle : 



<t) E = 1 oder 4p = gt~ -\- hu". Da hier t mit u zugleich 

 paar oder nnpaar ist, so kann man t = 2t' -f- u setzen und erhält 



. <7 + ä 



wo 4# X y — g* = D 



ist. Für </ = 1 gehört also p in die Schlussform, sonst aber in eine 

 Mittelform. Oder es ist 



b) \ E = 4, folglich p = #£2 -j- Am 2 . Setzt man t = t' -f 14, 

 so wird /> = gt" 1 -f 2 g tu -\- {g -\- h) u z , und übergeht man zu 

 den ungeraden Formen durch die Annahme von 2 w = «;, so erhält 

 man die Formel 



P =gt''+gt'u' + ^«' 8 > 



worin von /> das Vorhergesagte gilt. 



