Die Perioden der quadratischen Zalilformen hei negativen Determinanten. 49 



zu lösen, 



wornach sich b" = 2a f -f- b, c" = f 2 -j- <p, f' = f 

 ferner X = cc~ — 2<pvy — <py 2 , Y = 2axy -\- by 2 

 und p* = (a, b, c) 2 = a 2 X 2 + b" XY + c" Y 2 



ergibt. Eben so findet man die Quadrate der geraden Formen. 



b) Vom Quadrate einer Form kann man successive zur dritten, 

 vierten Potenz u. s. w. dadurch schreiten, dass man mit Beibehaltung 

 des Resultates für die erste Form in der zweiten n = \ setzt. Ist dann 

 p m = (a m , b, c) und p = (a, b', c), so suche man f, <p aus 

 b 'f -\- c = a (p, hierauf ist b" = 2 a'"'f -f- b, c" = a m ~ ' <p 2 -f <p 

 und p m + l = («"' + 1 , b", c"). Diese Methode ist in vielen Fällen 

 dem directen Potenziren der Formen (Legen dre Nr. 362) vorzu- 

 ziehen. 



c) Nach Nr. 4 b hat man 



(ah, bh, c) = (a, bh, eil) (h, bh, ac) 



und eben so (a'h, b'h, c) = (d, bh, c'li) (h, bh, a'c') 



Da ferner nach Nr. 2 c zu h , mag es paar oder unpaar sein, 

 nur eine Mittelform gehört, deren Quadrat die Schlussform gibt, 

 welche letztere die Formen nicht multiplicirt (Nr. 4e), so gibt das 

 Product obiger Gleichungen 



(ah, bh, c) (a'h, b'h, c) = (a, bh, ch) (a', b'h, c'h), 



welcher Satz oft in der Rechnung von bedeutendem Vortheil ist. 



d) Sind M, M' zwei verschiedene Mittelformen derselben 

 Determinante, so ist ihr Product M" eine von ihnen beiden verschie- 

 dene Mittelform, und man findet überdies MM' = M', M' M" = M. 

 Es gibt nämlich die Gleichung M X M' = M" ■ quadrirt 

 M 2 X M' z = M" 2 , und bezeichnet man die Schlussform mit S, so 

 erhält man M" 2 = S. Hier kann nicht M" = S sein; denn dann 

 wäre 1/ X M' = S also M X M' 2 = M' X S = M', d. h. M= M' 

 gegen die Voraussetzung. Auch kann nicht M" = M oder = M' 

 sein, indem dann die andere Form = 6" wäre. Es sind daher alle 

 drei Mittelformen von einander verschieden. 



Sitzt», d. malhem.-nattirw. Cl. XXXI. Bd. Nr. 18. \ 



