die Reihe f, f>, f .... nur möglichst reducirte Ausdrücke, bei denen 

 also der mittlere Coefficient b keinen der ausseien übersteigt, so 

 müssen sich dieselben einmal wiederholen, da nach diesem Verfahren 

 jede Form eine neue liefert, folglich die Reihe nicht abbrechen kann, 

 und eine Determinante nur eine endliche Anzahl Formen hat. 

 Wiederholt sich nun eine Form, so wiederholen sich auch alle 

 folgenden, da sie aus gleichen auf gleiche Weise entstehen, d. h. die 

 Formen bilden eine Periode. 



bj Es müssen sich aber auch, wenn fm = fm' ist, alle vorherge- 

 henden Formen wiederholen, denn weil man/*m = (a, b, c)f(m — 1) 

 hat, so wird f (m — 1) = (« , — b , c) fm und eben so auch 

 f (m — 1) = (a, — b, c) fm' gefunden. Daher entstehen alle vorher- 

 gehenden Glieder der Reihe aus den nachfolgenden nach demselben 

 Gesetze, und die Periode hat sonach keine Vorglieder, weil auch das 

 erste Glied f\ in der zweiten Periode vorkommen miiss. 



cj Ist ä die Anzahl der Periodenglieder oder kurz die Perioden- 

 lange, so hat man /' (H + 1) = f\ = (a, b, c) also nach Nr. 4 c 



fß = ( a , — b, c)f(H+ 1) = (a, — b, c) (a, b, c) = ( I , b, a c), 



und f'H ist die Schlussform, wodurch ihre Benennung gerechtfertigt 

 wird. 



d) Hat man fm — («', //, c'), so ist auch f {H — m) = p H ~ m 

 = p9.p >" = 1 : f m = 1 : (V, b', c) oder f(H — m) = («', — b', c) 

 d. h. je zwei Glieder einer Periode, deren Zeigersumme der 

 Periodenlänge gleich ist, sind einander gleich aber entgegengesetzt. 

 Jede Periode zerfällt daher, wie Ähnliches bei den periodischen 

 Kettenbrüchen vorkommt, in zwei symmetrische Hälften. 



e) Für die Verrechnung dieser Perioden sind folgende Sätze 

 von Wichtigkeit: 



fm X fn = p m X p n = p m + n = f(m + »), 



d. h. das Product zweier Formen hat zum Zeiger die Summe der 

 Zeiger derFactoren. Ferner bat man (fm)' 1 — (/>"')" = p'"" = fmn, 

 und die Potenz einer Form hat zum Zeiger das Product aus dem 

 Zeiger dieser Form und dem Exponenten. 

 Ist fm = (a', b', c'), so hat man auch 



(«', —b', c') = , =—- = __== p->" = f—m; 



(a , b , c ) / in p '" 



