Die Perioden der qnadriitNchen Zahlformen bei negativen Determinanten, J)*j 



12. Die Periodensysteme. 



Viele Determinanten haben ihre Formen in mehreren Perioden. 

 Zu .solchen gehören alle, die mehr als eine Mitlelform besitzen, indem 

 sie wenigstens so viele Perioden als Mittel formen haben müssen. Die 

 zu einer Determinante gehörigen Perioden kann man füglich ihr 

 Periodensystem nennen, welches sich, so weit ich bisher erforschen 

 konnte, auf zwei Hauptfälle reduciren lässt, und zwar: 



a) Kommen öfters k Perioden vor, deren Länge sämmllich die 

 Primzahl e ist , und bei denen kein Glied einer Periode aus den 

 Gliedern der anderen Perioden entstanden ist. Diese k Perioden 

 kann man nach •§. 48 etc. der „combinatorischen Analysis vom Herrn 

 Andreas von E ttingsha us en" als Variationsreihen, daher die ein- 

 zelnen Formen als ihre Elemente ansehen, so dass dann das Product 

 aus allen Elementen einer Variationsform eine quadratische Zahlform, 

 die zu einer Periode von e Gliedern gehört, liefert, nur das Product 

 der k Schlussformen gibt die allen Perioden gemeinschaftliche 

 Schlussform. Auf diese Weise erhält man e k — 1 Formen, die 

 sämmtlich von einander verschieden sind. Heisst A die Anzahl der 



e k — 1 

 Perioden, so wird man A = — haben, da zu jeder Periode e — 1 



Formen gehören. Für e = 2 gibt z. B. A die Anzahl der Mittel- 

 formeii 2*— 1 (vergl. Nr. 2). Oder D = 307 hat die Formen 

 (4, 2, 77), (7, 2, 44), deren jede eine eigene dreigliedrige Periode 

 gibt, daher hier e — 3, k = 2 folglich .4 = 4 ist. Dasselbe ist bei 

 den geraden Formen von D = 547 der Fall. 



Hat nun eine Determinante ausser jenen A Perioden noch eine 

 t) gliedrige, wo e und H prim zu einander sind, so entstehen aus 

 ihrer Verbindung nach Nr. 11 A Perioden von der Länge e H, deren 

 jede die obige H gliedrige einschliesst; denn stellt f it f' z , f 3 , . . . . f'H 

 die besagte Periode dar, und setzt man in der Gleichung 



u = 6 <p -|- m = e<p' -\- n, n = en', 



daher a = eu', so folgt aus Fu = fm X f'n, mag f'u zu welcher 

 der A Perioden immer gehören, Feu' — fm. 



Daher kommen /',, f z , /* 3 , . . . an den durch e theilbaren Stellen 

 aller eH gliedrigen Perioden vor. So hat z. B. D = 341 drei 



