Die Perioden der quadratischen Zahlformen bei negativen Determinanten. 50 



f!>x = 7 X 29 : 5, /'— 6a? + %y = 53, f— 6a? - 3y = 5* 



und aus /"7.t* geht /*15.{' = I oder 15 x = o (Mod. #) hervor; 

 wehst dem erhält man fix ~{- y = S : 19 und /7 a? — y — 7 : 23. 

 Aus der Verbindung der ersten und vorletzten Gleichung folgt 

 /Ti.t- + 3?y = 5* X 7 oder /*3a? + 6?/ = 7, /" - 4a? -f 7// = 23 

 /7,i' + 8?/ = 31. Weiterhin gibt ßy, ßy, fiiy, f — x + 3?/ 

 = 83 : 7 oder fix + 9y = 83, dann /*a? + 4?/ = 11 X 19, 

 f% x — $ y = 7 X 11 also /*— 11?/ = 11, /a? -f 107/ = 19 

 daher fSx -f- 16?/ = 5, was mit dem Zeiger von 5 3 verglichen 

 22a? + 35 y = o liefert. Multiplieirt man diese Gleichung mit 15, 

 so ist wegen 22 X 15.*? = o, 525?/ = o und H = 525?/. Ein 

 Theiler von 525?y kann # nicht sein; wäre z. B. = 175 /y, so folgt 

 aus der fünffachen zweiten Periodengleichung 110 a? -f 175?/ = o, 

 d. h. o.t? = o. Wird demnach y = 1 folglich H = 525 genommen, 

 so gibt die Gleichung 22 a? -f 35?/ = o, a? = 70, woraus man 

 /'51 = 5, f2\6 = 7, /"515 = 11 u. s. w. berechnet. 



14. Die Periodengleichungen. 



Von diesen gilt alles, was von Congruenzen überhaupt gilt, nur 

 dürfen sie nicht, so lange der Modell unbekannt ist, dividirt werden, 

 indem der Divisor leicht zum Modell nicht prim sein könnte. Auch 

 ereignet es sich hier oft, dass sich eine der Gleichungen aus den 

 anderen ableiten lässt, in welchem Falle dann a Gleichungen nicht 

 hinreichen, um a unbekannte Zeiger zu bestimmen. Überdies haben 

 sie folgendes Eigentümliche: 



a) Kommt unter ihnen eine von der Gestalt 2ax -f 2by 

 -\- 2cz = o vor, oder lässt sich eine solche ableiten, so ist entweder 

 ax -\- by -\- cz = o oder iß, und es gehört f (ax -f by -(- cz) 

 einer Schluss- oder Mittelform an. Lässt sich diese Grösse aus den 

 bekannten Periodengleichungen nicht ableiten, so ist das Letztere 

 beinahe sicher, und hätte D schon die Mittelform (2, 2, c) oder 

 (2, d), so wird der Zeiger ax + by + cz wahrscheinlich einer 

 andern Mittelform angehören. Dies ist besonders bei Factorenzer- 

 legungen von Wichtigkeit. 



b) Hat D zwei oder mehrere Gleichungen von der Gestalt 

 aex -\- bey -j- cez = o, a'ex + ^' e V ~+~ c'ez = o oder lassen 

 sich dieselben ableiten, zeigt es sich übrigens, dass keine von den 



