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 sämmtlich von einander verschieden sind, so kommt bei D ein Perioden- 

 system vor, das dann nach den Grundsätzen in Nr. 12 verrechnet 

 werden kann. So ist bei D = 131867 für ungerade Formen und 

 bei fx=3,fy = i\,fz=17, 3.r — 3# = o, 3a* + 3s = o, und 

 es gibt sowohl fx — y = (33, — 23, 1003) als auch fx -f « = 

 (51, — 23, 649) eine Periode von 3 Gliedern. 



c) Sind die Unbekannten so beschaffen, dass sich durch die- 

 selben die Zeiger aller zu D gehörigen Primzahlen p, bei denen also 



nach Gauss ( ] = 1 ist, bis y —bei ungeraden und 2y — bei 



geraden Formen, und falls man nicht so weit gehen könnte, doch 

 wenigstens aller in der Rechnung vorkommenden angeben lassen, so 

 kann man um H zu finden, Folgendes als Grundsatz annehmen : „tf kann 

 keine Zahl a zum Factor haben, wenn durch diese Annahme x, y, z etc. 

 einen gemeinsamen Theiler erhalten würde; 1 ' dann hätten nämlich 

 diesen Theiler die Zeiger aller Primzahlen zum Factor, er würde 

 daher auch bei allen Potenzen und Producten vorkommen, und 6 wäre 

 zu gross genommen. So kommen bei D = 2653 71653 für fx = 3 

 fy = 11, fz = 13 die Gleichungen H9.r + 1 1 y + Sz = o 

 638.r -f 47?/ -f 13s = 4- 6, 385 x -f 31?/ + 4z = o vor; die 

 Elimination gibt 29724 x = o, 29724 y = o, 54494 z = o. Das 

 kleinste gemeinschaftliche Mittel dieser Coefficienten ist 

 326964 = 2* X 3 X H X 2477 = k B. 

 Aber 4 ist kein Theiler von tl; denn zum Modell genommen würde 

 es nach den obigen Gleichungen x -\- y = o, iv — y = o also 

 2x = o liefern, wesshalb x, y und z gerade sein müsste. 



Auch kann wegen der Congruenzen 3 y -f 2 z = o 

 — 9y-\-Az = o (Mod. 1 1) oder 8y = o, die Zahl 11 kein Theiler 

 von sein, und man findet H = 14862. Doch kommen ähnliche 

 Untersuchungen bei kleinen Determinanten sehr selten vor. 

 Anmerkung. Hieraus ist ersichtlich, dass die Periodengleichungen 

 die Eigenschaften der Periode und des Periodensystems ent- 

 halten, die man dann aus ihnen entwickeln kann. 



15. Die reciproken Zahlen in den Perioden. 

 Zwei Zahlen D, JVheissen bekanntlich reciprok, wenn JVin den 

 Formen der Determinante D und umgekehrt vorkommt. Eine quadra- 



