Die Perioden der quadratischen Zahlformen bei negativen Determinanten. Q [ 



tische Zahlform enthält, wie bereits erwiesen ist, entweder keine 

 oder lauter reciproke Zahlen. Hieran reihen sich folgende für die 

 Reciprocität immerhin wichtigen Sätze: 



(i) Ist fn eine reciproke oder nicht reciproke Form, so ist es 

 auch beziehungsweise fn -f- 2m, mag m welchen Werth immer 

 haben. Hätte man nämlich fn = N und fm = M, so gibt 

 fn -f 2to = NM' 1 , und man wird, wenn d was immer für eine in 

 D aufgehende Primzahl ist, nach der Gauss'scheii Bezeichnungsweise 



m - (?) - (D - d) ■ — - p^) - 



± 1 haben. Es kommt aiso jede D theilende Primzahl, 



m 



daher jede Potenz und jedes Product aus solchen Grössen in den 

 Formen der Determinanten fn -J- 2m vor oder nicht vor, je nachdem 

 sich dieses hei fn ereignet. 



b) Hat demnach D blos Perioden von einer ungeraden Länge, 

 so wird entweder jede Form reciprok sein oder keine. Ersteres 

 geschieht bei den Formen von der Gestalt (2a, 2b, 2c), wenn D 

 eine Primzahl oder Primpotenz von der linearen Form 8^ + 3 ist, 

 Letzteres bei den unpaaren und paaren Formen von D = 8 <p -\- 3 

 und bei allen Formen der Determinanten D = 8<p — 1, mag D eine 

 Primzahl sein oder nicht. 



c) Ist P = tit°~ -f btu + cu" oder An P = (2at -f bu) n ~ -f Du* 



so hat man für jede Primzahl d, die D theilt ( — — \ = ( ) = 1 

 also I — J = I--J . Da man nun bei jeder Form mit einem geraden 

 Zeiger P = p* setzen kann , so ist I — J = 1 das Kennzeichen von 

 f2m = a. Bei Formen mit einem ungeraden Zeiger muss nämlich 

 immer ( — J = — 1 sein; denn wäre f— \ = 1 also auch f— } = 1, 



so übergeht p* = at* -j- btu + cu" 



wenn p = cz, t — 2cy, u = x — by 



gesetzt wird , in x~ -|- D y~ = c z 2 , welche Gleichung nach 

 Legend re Nr. 27 immer in Ansehung dessen, dass hier c eine 

 Zahl der Determinante D ist, d. h. dass man für jede Primzahl c', 



