Die Perioden iler quadratischen 2ahlformen l.ei negativen beterminanten. 03 



besondere Beachtung: „Ist // die Anzahl der Formen erster Art 

 (d. h. der eigentlichen quadratischen) von der Determinante D. und 

 h' die Anzahl der Formen erster Art von der Determinante D' = DS~ 

 wo S irgend eine ganze Zahl bedeutet, so ergibt sieh die Beziehung, 

 dass h' und h in einem angebbaren Verhältnisse stehen, und zwar, 

 dass h' = hl ist", wo bei negativen Determinanten 



vorstellt, wenn man S = rr'r" etc. hat. Hiebei ist nach Gauss 



f— — ) = (— D)~¥~ = ± 1 (Mod. r), welche Grösse Null zu 



setzen ist, wenn r = 2 oder ein Theiler von D ist. Was D = S" 



1 



und 



anbelangt, wenn S eine Primzahl ist, hat man / = S — ( — — ) 



/ S ± 1 

 h' = — , d. h. h' ist die gerade Zahl . 



* i 



Dieses Gesetz hat jedoch seine Gilligkeit nur unter der Voraus- 

 setzung, dass die Formen (a, b, c) und (a, — b, c) mit Ausnahme 

 des besonderen Falles in Nr. 2 b ungleich sind. Daraus erhellet die 

 Notwendigkeit der Annahme von fn — gm = 1 in Nr. 1. 



b) Mittelst des vorstehenden Satzes ist man in den Stand 

 gesetzt, die Formenzahl bei Potenzen aus Primzahlen, und da letztere 

 meistens nur eine Periode haben, die Länge derselben zu bestimmen: 

 hat nämlich p, p 2 beziehungsweise H, H Formen, so wird die Anzahl 

 der geraden Formen bei D = p 2 " + l , H' = H p n und bei D = p 2n , 

 H' = hp n — y betragen, wesshalb auch die Determinanten 2 2 " + 1 und 

 2 2 " + 2 eine Periode von 2" Gliedern haben. 



Was die ungeraden Formen anbelangt, beträgt ihre Anzahl bei 

 den unpaaren Potenzen der Primzahl p = 8<p -\- 3 Mos £ H p n 

 nämlich den dritten Theil der geraden , indem die drei geraden 

 Formen (4 a, 2b, c), (a, 2 b, 4 c), (4a, — 2 [2 a — b\ a — b-\- c) 

 in die ungerade (a, b, c) übergehen. Dies gilt offenbar auch bei 

 n = o, da bei D — p = S^> + 3 die Anzahl der ungeraden 

 Formen f f) ist, wenn jene der geraden H beträgt. 



c) Hat die Determinante D mehr als eine Periode, so ist die 

 Zahl der Formen durch die Gliederzahl der längsten daher auch jeder 

 andern Periode theilbar. 



