Die Perioden der quadratischen Zahlformen l>ei negativen Determinanten. ßj) 



(m — 2) gliedrige Periode bilden. Aus ähnlichen Gründen haben 

 D = ia m — b~ und D = 2a m — b" die Grössen jxm und 2/xm 

 zu Periodenlängen. 



Die Primzahl Ü = 8<p -f- 1 hat eine Periode von 4A Gliedern, 

 da nach Nr. IS die Mittelform (2, 2, 4^ -f 1) reeiprok ist, und 

 desshalb einen geraden Zeiger hat. Wäre D = 8 <p -\- J> und Prim- 

 zahl, so ist # = 4A -j- 2, weil in diesem Falle die Mittelform nicht 

 reeiprok ist, daher einen ungeraden Zeiger besitzt, wie dies in diesen 

 beiden Fällen aus der Reciprocität von (1, /)) hervorgeht. 



Beide letzteren Fälle gelten auch von allen Potenzen und Pro- 

 dueten, wenn die Wurzeln und einfachen Factoren dieselben Eigen- 

 schaften wie D besitzen, so wie auch bei dem Doppelten derartiger 

 Grössen. 



17. Bemerkungen über die Determinanten in 

 Hinsicht ihrer Theilbarkeit. 



Will man eine ungerade Zahl in zwei Factoren zerlegen, so 

 reicht es hin zu ihr als Determinante eine Mittelform ausser 



(2, 2, — - — J aufzusuchen, indem nach Nr. 2 die Mittelformen 



(p, p, r), (p, q, p), (p, r), (2p, 2p, r), (p, 2q, p) beziehungs- 

 weise D — p (4r — p), (2p — q) (2 p -j- q), pr, p (2r — />), 



(p — q) (p + q) s eb(?n - 



Kommt hei D keine dieser Mittelformen vor, so kann es nur eine 

 Primzahl oder Primpotenz sein. Gerade Potenzen sind vollständige 

 Quadrate, und die ungeraden erkennt man daran, dass sie mit ihrer 

 Periodonläuge die Wurzel oder eine ihrer Potenzen gemein haben. 



Da mittelst der Bestimmbarkeit der Formen und der Perioden- 

 gleichungcn die Verrechnung der Perioden bedeutend erleichtert 

 wird, so ist man auch in den Stand gesetzt, sehr grosse Zahlen in 

 Factoren zu zerlegen oder ihre Primität zu erkennen. Auf diese Weise 

 wurde unter andern auch 



1111111 Hill Hill =i(10 17 — 1) = 2071723X0363222357 

 zerlegt, welches wohl die grösste Zahl ist, bei der dies ohne Zufall 

 geschah. 



Anmerkung. Bei Zahlenzerlegungen nach dieser Methode finde 

 man oft f2a = m-, oder es lässt sich aus den Bestim- 



Sitzl>. d. mathem.-naturw. CI. XXXi. Bd. Nr. 18. ^ 



