f)ß S i m e r k a. 



mungsgleichungen eine solche Form ableiten; dann hat man 



flu. (fo-\. 



= { — | 3 = 1 , und es kann fa : 



m blos eine Schluss- 



oder Mittel form sein. Gewöhnlich ist das letztere der Fall. 

 Seltener trifft es sich, dass man zu einer Form von der Gestalt 

 (an 2 , b, O.C*), wo daher D = (2aac — b) (2,aac-\- b) 

 ist, gelangt, oder dass in («, b, c) a mit b oder b mit c einen 

 gemeinsamen Theiler hat, der demnach auch D theilt. 



18. Unbestimmte Gleichungen von der Gestalt 



pz m — ax z -f bxy -\- cy~. 



Zur Lösbarkeit dieser Gleichung ist vorerst erforderlich, dass 

 p mit (a, b, c) zu derselben Determinante gehöre; denn aus 

 Aacpz" = (2ax -f by)~ -f Dy~ = M* -f D y~ folgt, wenn p' 

 was immer für eine p theilende Primzahl ist 



Eben so sieht man, dass jeder Werth von z dieser Determinante 

 zugehören werde. Ist nun in der Periode oder im Periodensystem, 

 welches bei D = Aac — b- oder falls b = 2b' warf, bei 

 l) = ac — b' 2 vorkommt, 



fa = 0, b, c) und p = a'f* -f b'fg -f c (f = fß, 



wo also ß je nach der Beschaffenheit von p auch mehrere Werthe 

 haben kann, so wird man z m — f (a + ß) erhalten, indem pz m keine 

 Bestimmungsgrösse (Nr. 9) sondern ein blosses Product ist. Setzt 

 man weiter z = fw oder z m = fmw, so ergibt sich mw = « + ß 

 (Mod. #). Zur Lösbarkeit dieser Congruenz ist demnach erforderlich, 

 dass der grösste gemeinschaftliche Theiler von m, H in a + ß auf- 

 gehe. Hat man auf diese Weise einen oder mehrere Werthe von w 

 gefunden, so liefert die Periode oder das Periodensystem für jedes 

 w eine Form von der Gestalt z = fw = kt 2 -f- ntu -f- r u 2 , 

 wo k, n, r bestimmte, t, u hingegen willkürliche Grössen sind. 

 Erhebt man diese Gleichung zur m ten Potenz, und multiplicirt dann 

 das Resultat mit/' ± ß = («', ± b', c), so kommt nach den gehö- 

 rigen Reductionen f (m w + ß) = fa = ax % -j- bxy -(- cy l zum 



