Die Perioden der quadratischen Zahlformen bei negativen Determinanten. f)7 



Vorschein, wobei die Unbekannten x, y, durch Functionen des m iea 

 Grades von t, u dargestellt sind. 



Beispiel: 37 z* = 3^ + 2xy + 34 t/-. 



Hier gibt D = 101 für f\ = (3, 2, 34) eine Periode von 

 14 Gliedern, worin /'8 = (6, 2, 17) = 37 bei x' = 2, y' = — 1 

 vorkommt. Daraus folgt 3 w = 1 +8 (Mod. 14) oder 3ro = 21 

 vcl 9 und w = 7, 3. Daher ist vorerst z = fl = 1t'~-\- 2tu + 51«.*, 

 daraus findet man *3 = 2P -f 2XF + 51 Y% 



wo X = 2*3 — 153^2 — Sltt 3 und Y = KtHi -f 6tu* — 49 «*; 



folglich 37«3 = (2X2 + 2XF+ 51 P) (ily^—lx'y' + 6#'*), 



was 37 2» = 3.u 2 -f 2.r# -f 34 y» 



gibt, wobei 



# = 8^ 3 -f 102 t*u — 510 tu* — I037w3, 

 2, = _ 2 /3 -f 30 ^Hi + 183 tu* — 194 w*. 



Eben so findet man die zweite Lösungsweise für 



z = f s = 10^ — ßtu + 11 1/' 



x = — 96 *3 4. 258 ^m + 102 t u* — 127 u* 



y = — 14 £3 _ 78 f2 M + 93 t u* -f 1 uK 



Anmerkung. Mehreres über Gleichungen dieser Art, besonders 

 was den Fall von m = 2 anbelangt zu erwähnen, ist wohl 

 nicht nöthig, da hierüber Gauss, Lagrange, Legendre 

 und neulich Herrmann Scheffler in seiner „unbestimmten 

 Analytik (Hannover 1854) weitläufig genug gehandelt haben. 

 Was jedoch die vorstehende Methode anbelangt, so gibt es, 

 wenn m > 2 vorkommt, keine bessere; überdies ist sie 

 sowohl bei sehr grossen als auch bei positiven Determinanten 

 brauchbar, indem letztere auch Perioden- und Periodensysteme 

 besitzen; und wenn sie auch in der bündigen Darstellung der 

 Resultate einigen andern Methoden nachsteht, so gewährt sie 

 dafür wieder die Sicherheit keine Lösungsweise übergangen 

 zu haben. 



