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II. Inbestiiiimte OleicliuDgen des ersten Grades mit zwei lnl>ekaantea 

 gelöst mittelst der Congruenzlchre. 



Der Gleichung na- = niy -f r, wobei m n prini zu eiirandei* 

 siuil , wird Genüge geleistet bei a: ^= m t -]- <p , y = nt -\' ^, wo 

 / eine beliebige gynze Zahl vorstellt, (f und ^' ;tber unter dessen 

 unbestimmt sind. Werden diese Werthe in die gegebene Gleichung 

 substituirt, so liefern sie n'y = m</> -f r. 



Wäre hier f = mk -\- f', so kann das Product mk in Folge 

 des Werthes von .v zu mt bezogen werden; daher braucht man nur 

 einen einzigen Werth von f , d. i. etwa jenen, der ohne Rücksicht 

 auf das Vorzeichen < ,7n ist, zu kennen, mau findet dann 



n oa — r 



m 



(Im nun f zu erhalten , betrachte man dif zwei Congruenzen 



nif ^ 0, Hf ^7' (Mod. m)\ 



die erste ist an sich klar, die zweite entsteht aus obiger Gleichung. 

 und es kann darin, wenn dies noch nicht der Fall wäi'e, n und 

 r'<im gemacht werden; auch ist es erlaubt die Vorzeichen bei 

 n und r zu verändern, um etwa ein negatives n positiv zu machen. 



Ist nun n < im, so suche man die grösste in — enthaltene ganze 



n 



Zahl auf; ist sie d, so erhält man rn = dn -{- n' , wo h' < in 

 sein wird. Dann gibt die zweite Congruenz dnf ^ dr; wird dies 

 von der ersten abgezogen (m — d7i)f ^ — dr, oder 7i'<p ^ — r/r. 

 und wenn /•' ^ — r/r (Mod. m) den kleinsten Rest von — dr 



n 

 bedeutet, n'ip^ r'. Heisst ferner d' die grösste in —7- vorkommende 



ganze Zahl, so kann abermals u = n'd -\- //", wo //' < \n\ 

 gesetzt werden, und man erhält aus der zweiten und letzten 

 Congruenz 



(// — n'd) (f ^ r — d7' oder n' (f ^ r". 



Verfährt man auf diese Weise fort, so muss man, weil von den 

 Grössen m, n, //, n", . . . jede nachfolgende kleiner ist als die halbe 

 vorhergehende, schliesslich I zum Coefficienten von (p erhalten, wo 



