Lösung: zweier Arten von fileichungen. 283 



aus der Congruenz (p ^ |0 < im (Mod. m) p als der gesuchte 

 Worth von (p hervorgehl, wodurch sich auch ip ergiht. 



Mail hätte z. B. 9451 o-- = 5263v/ + 29 zu lösen. Hier ist 

 m = 5263 und di<' erste Congruenz 



5263 ^ = 0; da ferner 9451 — 2w = — 1075 ist, daher 



— 1075^ ^29, so erhält man die 2. Cong. 



1075 ^ = — 29. Hier ist rf = 5, also — 112 ^ = 145 odea- 



112^ = — 145; dann d' = 10, und - 45 ^ = 1421, d. i. 



45 ^ = ~ 1421 ; ferner d" -= 2 gibt 22^ = 2697 = — 2566 



22^ = - 2566; wo dann d'" ^ 2, <p = 3711 oder 



f = — 1552 also ^ = — 2787 hervorgeht. so dass 



.r = 5263 t — 1552 und ?/ = 9451/ — 2787 



die vollständigen Werthe der Unbekannten sind. 



Wer sich mit diophantischen Gleichungen befasst, wird die 

 Arbeitersparniss, welche diese Methode im Vergleiche gegen die 

 Euler'scbe und gegen die Lösung mittelst der Kettenhrüche gewährt, 

 bald einsehen. Überdies kann man hier zwei oft vorkommende 

 Umstände mit Vortheil benützen, und zwar: 



a} Haben in Congriienzen von der Gestalt ii' <p ^ r'(Mod. m) 

 die Grösen ?i', r oft einen gemeinschaftlichen Theiler, wodurch sie, 

 vorausgesetzt dass m, n prim zu einander sind, gekürzt werden 

 können. Noch öfters geschieht es, dass n' zu Factoren Potenzen von 

 2, 3 oder 5 hat; würde / diese Factoren nicht besitzen, so kann 

 es, um sie zu erhalten, um m oder 2m vermehrt oder vermindert 

 werden. 



So gibt z. B. die Gleichung 21 60 o? = 937?/ — 53 bei 

 m = 937, 2160^ = — 53 = — 990; dies durch 90 gekürzt. 

 24^^ — 11^ — 948, was abermals durch 12 gekürzt 

 2 ^ = — 79 = 858 oder f = 429 und <p = 989 liefert. 



b) Häufig, besonders bei dem eben angeführten Verfahren, 

 geschieht es, dass das n der schliesslich resultirenden Congruenz 

 n (p ^ r (Mod. in) gegen den Coefficienten n der zunächst vorher- 

 gehenden Congruenz inp ^r bedeutend klein ausfällt, dadurch 

 würde d' gross und die Zwischenrechnung beschwerlich werden. 

 Man kann jedoch dieCongruenz w'^ ^ r' (Mod. tii) in die Gleichung 

 n ip = nup' -|- r' , und diese wieder in die Congruenz nup' •\- r' ^^ 



