764 Kirchhoff. Über die Gleichungen 



Hieraus folgt, dass, wenn n die Normale eines Elementes der 

 Oberfläche des Körpers in seinem ursprünglichen Zustande ist, und 

 (X) , (Y) , (Zj die Componenten des Druckes sind, die dieses 

 Element nach der Formänderung von aussen her zu erleiden hat, 

 folgende Gleichungen bestehen müssen : 



(X) = X^ cos (n , x) -{- Xy cos (ji ,y) -|- X^ cos (n , z\ 



( Y) = Y^ cos {n , ar) 4- y; cos (n , y) -|- Y, cos {n , s) 3). 



(^Z) = Z^ cos {n ,x) -j- Zy cos (n , y) -\- Z^ cos (n , z)) 



Wir müssen jetzt für die Drucke X^, Xy etc. Ausdrücke durch 



^, -r^ etc. suchen, und diese in die Differentialgleichungen 1} und 

 ox cy 



die Grenzbedingungen 3) substituiren. Zu diesen Ausdrücken gelangen 

 wir leicht durch Betrachtung der Hauptdrucke und der Hauptdilata- 

 tionen. Der Zustand jedes unendlich kleinen Theiles des Körpers 

 nach der Formänderung kann aus dem Zustande desselben vor dieser 

 als auf die Weise hervorgegangen angesehen werden, dass der Theil 

 eine Verschiebung , eine Drehung und endlich in drei auf einander 

 rechtwinkligen Richtungen Dilatationen erlitten hat. Diese Dilatationen 

 sind die Hauptdilatationen; ihre Richtungen müssen mit denen der 

 Hauptdrncke zusammenfallen, d. h. derjenigen Drucke, welche senk- 

 recht wirken; denn eine Ebene, die senkrecht auf einer von ihnen 

 ist, hat nothwendigerweise einen senkrechten Druck zu erleiden, 

 vorausgesetzt, dass die Structur des Körpers nach allen Richtungen 

 dieselbe ist. Es sei a eine unendlich kleine Linie, die in einer dieser 

 drei Richtungen gezogen ist, s die Linie im ursprünglichen Zustande 

 des Körpers, die bei der Formänderung in g übergeht, P der eine 

 Hauptdruck, nämlich der Druck, der gegen die auf o senkrechte 

 Ebene ausgeübt wird; dann haben, da Pin der Richtung von a wirkt, 

 die Componenten von P, X^, Y",, Z,, folgende Ausdrücke: 



X, = P cos (a , x) \ 



Y, = Pcos(G,y)i 4). 



Z, = P cos (a , z) ) 



Die Grössen cos (^n,x), cos (t.j/)» cos (^a , z) lassen sich 

 ausdrücken durch cos (s , x), cos (s , y), cos (s , s) ; sind nämlich 

 (^x, y, o) und (x-\-dx , y-\-dy , z-\-dz) zwei Punkte der Linie s. 



