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VOL. XLIV., ART. 5. 



lieber das Reciprocitätsgesetz in einem beliebigen 

 algebraischen Zahlkörper. 



Von 



Teiji TAKAGI. Uit/'ilnthahushi, 

 Professor der Matlieiuatik un der K. Universität zu Tolcyc 



Dieser Aufsatz ist als Fortsetzung meiner unten citirten 

 Arbeit gedaclit: es wird eine andere Methode befolgt als in den 

 Abhandlungen des Hrn. Furtwänglers. Nachdem nämlich in jener 

 Arbeit ein wesentlicher Teil des Reciprocitätsgesetzes in einer 

 sehr ahgemeinen Fassung erledigt worden ist, gestaltet sich 

 der Beweis des allgemeinen Reciprocitätsgesetzes nunmehr ver- 

 hältnismässig einfacl 1 . 



Der erste Teil (§§ 3-11) enthält den vollständigen Beweis de!> 

 Reciprocitätsgesetzes für einen ungeraden Primzahlgrad /. Dieser 

 Beweis geschielit in drei Schritten. Zuerst wird das Reciprocitäts- 

 gesetz zwischen einer primären Za^ll und einer zu l primen Zahl in 

 ^ 6. erledigt. Hierbei erwies sieh als unentbehrliches Mittel das 

 sogenannte Eisenstein' sehe Reciprucitätsgesetz, welches, dank 

 eines allgemeinen Satzes ühei'die Beziehung zwischen den Potenz- 

 characteren in verschieden Korpern (§ 2) sofort auf einen behebigen 

 algebraischen Körper zu überti'agen ist. Dieser Specialfall des 

 Reciprocitätsgesetzes vertritt bei unserem Beweise gewissermassen 

 die Stelle der Definition des Legendre-Kummer' sehen Symbols, an 

 die nachher nicht mehr direct appelhrt wird. Ein Ausnahmefall, 

 der bei dem Beweise zunächst auftritt, wird durch einen einfachen 

 Kunstgriff leicht in die allgemeine Regel subsumirt (§ 7), während 

 Hr. Furtwängler zum analogen Zwecke eine complizirte Betrach- 

 tung anstellt. 



Durch die zweite Schritt wird derjenige Fall bewiesen, wobei 

 eine der beiden in Betracht konnnenden Zahlen behebig, die 



