Art. 5.— T. Takao-i ; 



andere aber sowohl zur ersten als auch zu / priin ist (§§ 1). lU). 

 Hierbei konnte ich niicli auf einen allgemeinen Satz über die 

 Normenreste des relativ cychschen Körpers stützen, der in meiner 

 früheren Arbeit bewiesen worden ist — im Gegensatz zu der Hilbert- 

 Furtwängler' sehen Methode, wobei derselbe Satz aus dem Recipro- 

 citätsgesetz erschlossen wird. Zu einer grossen Vereinfachung des 

 Beweises diente auch der Existenzsatz der Primideale in beliebigen 

 Idealclassen im allgemeinen Sinne. Das Hauptergebnis lautet: 

 Der Wert des Symbols f^j hängi nur von der Chisse mod f ah, 

 welcher das Ide(d r amjehört, nm f der Führer der dem Körper 

 K=h{l/ n) zugeordneten Classengruppe Im Grundkörpcr h bedeutet. 

 Hierin erblicke ich den wesentlichen Inhalt des allgemeinen 

 Reciprocitätsgesetzes. 



Um den Gang des Beweises möglichst übersichtlich darzutun, 

 habe ich es vermieden, das Hubert' sehe Normenrestsymbol an 

 die Spitze zu stellen. Will man aber das Reciprocitätsgesetz in 

 jener von Hilbert aufgestellten allgemeinsten und eleganten Form 

 zu erhalten, wobei zwei ganz beliebige Zahlen des Körpers in 

 Betracht gezogen werden, so hat man die dritte und die letzte 

 Schritt zu tun. Hierbei handelt es sich jedoch um eine Betrach- 

 tung mehr formaler Natur, und der Beweis erledigt sich schnell 

 durch Heranziehung des vorher erhaltenen Resultats. In § 11 

 bin ich nur kurz auf den Gegenstand eingegangen. 



Im zweiten Teile (§§ 12-14) wird das quadratische Recipro- 

 citätsgesetz behandelt. Es genügte, kurz die Modification anzuge- 

 ben, die nötig wird wegen der Vorzeichenbedingungen, den die in 

 Betracht gezogenen Zahlen in den mit dem gegebenen conjugirten 

 reellen Körpern zu genügen haben. 



Litteratur. 



D. Hilbert. Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Bericht, 



erstattet der Deutschen Mathematiker- Vereinigung, (1897). 

 Ueber die Theorie des relativ quadratischen Zahlkörpers, 



Math. Annalen 51 (1898). 



