über das ReciprocitätSi,^eset7, in ciueui Ijelieliii:jen alt^obraischen Zahlkorper. .5 



Ferner gebe es unter den /• (Irundeinheiten, den Einheits- 

 wnrzeln in k, und den h^ unablu'ingigen Zalden, welclie Z-te Potenzen 

 der Ideale von k sind, insgesamt N' unabhängige Niclitreste nacli 

 m : 



sodass ^'=^, und eine Zalil von der Form 



"-/i '^/.,- ■ • • • 0^. (O^H,, U,,, ■ ■ ■</) 



nie anders ein /-ter Rest nacli in sein kann, als wenn die sämtlichen 

 Exponenten ?*,, Mo, •• • verschwinden. Alsdann ist der Kang der 

 Classengruppe G durcli die Formel gegeben: 



]i=h,+N-N'. (;-3) 



Wenn Z = 2 und wenn unter den mit h conjugirten Körpern 

 >'i(>'i>0) reelle vorhanden sind, dann ist notwendig, den Classen- 

 begriff dadurch enger zu fassen, dass zur Definition der Aequiva- 

 lenz zweier Ideale: ji=ai2 nur der Zahlenfactor « zugelassen wird, 

 welche ausser der Congruenzbedingung mod. m noch die Vorzei- 

 chenbedingung befriedigt, folal jios'dlv zu sein. Zufolge dieser 

 Festsetzung, erfährt die Rangzahl h der Classengruppe G die 

 jModitication, indem zunächst der Rang iV der Zahlengruppe um '}\ 

 vermehrt wird, sodami zu deju System der N' Zahlen (2) nocli 

 N"—N' quadratische Reste nacli in hinzugenommen werden, die 

 sich unter den r + l + //o unabluingigen Einheiten und Idealpotenzen 

 befinden, und welche von einander unabhängige Vorzeichencom- 

 binationen in den r^ reellen mit k conjugirten Kra-pern aufweisen 

 mögen, sodass nunmehr an Stelle von (2) ein System von N" 

 Zahlen {N"^N') : 



^jv '-y.v, 5y.v-i-i, — V-v (2*) 



auftritt, von der Beschaffenheit, dass eine Zahl von der Form: 



^r • ■ • ^?' ('*=<^' 1) 



niemals quadratischer Rest nach ni und zugleich total positiv sein 

 kann, ausser wenn alle Exponenten Wp • ■ ■ ^^.v verschwinden. 

 Demnach wird in diesem Falle 



h = h, + N+r-N". (3*) 



