über «las Eeciprocitätsgesetz in einem beliebigen algel:>raisclien Zahlköri^er. J 



indem wir die Exponenten v, v/ u: den A'' l)ez. A^" Bedingungen 

 unterwerfen, dass für die Zahlen {'!) bez. (2*) 



X{-rj,)=l {i^\,% ' ■ ■ N'hez. X") 



ausfallen soll. 



Auf diese Weise entstehen /'' =/''o +a'-a" lie», ^h =2''o +s + n~x' 

 Cliaractersysteme, die sich aus den h unabhängigen durch Multipli- 

 cation zusanuiiensetzen lassen. Die Gesamtheit der Ideale r, für 

 welche 



Z(r) = l 



ausfällt, bildet dann eine Classengruppe vom Index /; umgekehrt 

 aljer lässt sich jede Classengruppe vom Index / auf diese Weise 

 cliaracterisiren. 



(2) Existenz der ClassenkörperC). Zu jeder Untergruppe 

 H der Classengruppe G von k existirt ein und nur ein 

 Classenkörper Z(iî); derselbe ist relativ Abel' seh in Bezug auf ^. 

 Die Galois" seile Gruppe des Kelativkürpers K/k ist holoedrisch 

 ismorph mit der complementären (Gruppe GjH. Die Relativdiscri- 

 minante von Kjk enthält nur und alle Primideale von k als Factor, 

 welche in den Führer der Classengruppe H aufgehen. 



Wir heben den folgenden speciellen Fall dieses Satzes hervor, 

 welcher den Fall: m = l, also die ahsoluteii Classenkorper betrifft. 



Satz 1. (Satz von Furtwängler) Id h der Bang der absoluten 

 Classe ji(/r y ppe von k, dann existiren h unabhängige relativ cycllsche 

 unverzweigte Körper vom Belatlvgrade lüber k. folglich h unabhängige 

 " smguläre Primär zahlen^'' in k: 



SO nennen wir nach Furtwängler die primären Zahlen, welche 

 entweder Einheiten oder /-te Potenzen der Ideale sind; diese /e 

 Zalilen sind von der Art. dass jede Zahl w von derselben Beschaf- 

 fenheit auf eine und nur auf eine Weise in der Form 



U] u-.i .1 



(0 = C0 '■ ■ ' CO if 



1 h 



(-) K.A. S. 62. 



