8 Art. 5.— T.Takagi: 



darstellbar ist, wo die Exponenten ui, ■ ■ • U;, Zahlen aus der Reihe 

 0, I, 2, • • • ^— L sind, und ^ eine Zahl in k bedeutet. 



Ferner ist, wenn 1=2 und die Classen im (jewühnliclicn Sinne 

 genommen iverden, die h singular en Primär zahlen total positiv. Wenn 

 aber die Classen nach total positiven Z-alilen definirt werden, und erfäJirt 

 dabei der Rang de^*Classe?igriippe einen Zuwachs um li', dann kommen 

 noch, h' unabhängige singulare Primtirzahlen o)\ • • • o/,,. hinzu, die aber 

 nicht total positiv sind und unahhàngige Vorzeicliencombinationen in 

 den mit k conjugirten reellen, Körpern aufweisend). 



Eine wichtige Folgerung aus der Existenz des allgemeinen 

 Classenkörpers ist der folgende 



Satz 2. In jeder Classe von k nach einem beliebigen Modul m 

 und mit einer beliebigen Vorzeichenbedingung existiren stets unendlich- 

 viele Primideale ersten Grades. 



(3) Die Normenreste des relativ cyclischen Oberköi'p('rs{\). Eine 

 Zahl a in /.• heisst ein Normenrest des Oberkörpers K nach einem 

 Idealmodul j von k, wenn es eine Zahl A in K gibt, derart dass 



:N{A) = a (modi), 



WO mit N die Kelativnorm in Bezug auf k angedeutet wird. 



Satz 3. Wenn p ein zu l primes Primideal von k ist, welches in 

 die Relativdiscriminante des relativ cyclischen Oberkörpers Kjk vom 

 Relativgrade l aufgeht, dann ist von den (f{\i) reducirten Zahlclassen 

 mod p genau der l-te Teil Nor men rest des Körpers K nach dem 3Iodul 

 p, nämlich die Zahlen a,für welcJie 



ausfällt' 



Wenn l ein Prinif actor von l ist, welcher zur {v-\-\){l — V)-ten 

 Potenz in die Relativdiscriminante von Kjk aufgeht, dann ist jede zu i 

 prime Zahl von k Normenrest n,ac]i {'', wenn e^v. Ist dagegen e>v, 

 dann ist genau der l-te Teil eines reducirten Systems der Zahlclassen mod 

 V Noxmenrest des Körpers K nach {''. Es gibt in k eine Zahl 1 + X„ wo 

 y?„ eine genau durcli T (nicht mehr durch 1"+^ ) teilbare Zahl ist, 



(^) E.A. S. 84. (4) E.A. S. 27—35. 



