12 Art. 5.— T. Takao-i : 



Nan <ei, imlem wir den Index bei S eint'achlieitslialbev 

 wegla-sen, 



HSG, = HS + HS'+ ■ ' ■ +HS^''-'\ (7) 



soda>;s nach (1) -v^ M wird, wenn über alle c Complexe (5) sum- 

 mirt wird. 



I>t dann wie früiier K'=K\S, und H' = S~^HS die entsprechende 

 Untergruppe von G, ferner HJ,Ht die Durchschnitte von Jf und 

 Gg bez. Gt, dann sind HJ, Ht die Zerlegungs- und die Tnigheits- 

 gruppe von ^^* im Relativkch'per X'/^^-- Die Zahl vin (7) ist aber 

 gleich dem (jrruppen index (G. : Jf'J, also 



wenn /der Relativgrad von ^^' in Bezug auf h, und g der Exjionent 

 der libchsten in p aufgehenden Potenz von Si^' Ijedeutet. (Daher 

 ist ,^=(/i, wenn wie früher ^:^' = ^^d>S' ist). 



Sei nun Z eine derjenigen Substitutionen von G,, für welche 

 jede ganze Zalil U von Jf* die Congruenz: 



befriedigt; und es sei Z' die niedrigste Potenz von Z, die in H' also 

 in HJ vorkommt. Da dann 



so muss t durch / teilbar sein, weil die Norm von %-' in K' gleich 

 K und HJ die Zerlegungsgruppe von ^;|ß* in Bezug auf K' ist. Um- 

 gekehrt muss al3er in H\ eine Substitution Zq enthalten sein, von 

 der Art, dass 



Demnach ist 



i^\Z,^ii\Z^ {modi 'li^% 

 also Z' Z^"^ in H't, folglich in H'^ enthalten, sodass Z' in HJ, folglich 

 in H' vorkommt. 



Ist also ,S' eine beliebige Substitution des Complexes HSG^, 

 dann sind die /Complexe 



HS, HSZ, ■ . ■ HSZ'-' (8) 



in dem Complexe (7) enthalten, und diese /Complexe sind von 

 einander verschieden. I^t ferner S' eine Substitution dessel])en 



