über das Keciprocitiitsgesetz in einem beliebjo-en algebraischen Zahlkörper. 29 



primäre Zahl von K, sodass fj.=N(M) primär ist. Wir nehmen, wie 

 erlaubt, M so gewiililt an, dass M und /^ regulär in K und l- sind, 

 und dass 



ausfällt. 



Ist dann q regulär in k, dann ist 



ii-Hf). '^> 



folglich 



I)a{-} = {^-}V-l,also{^}4^1>so folgt nach (I), dass O regulär in 



K ist. 



Umgekehrt, wenn O regulär in K ist, so gilt zunächst (9), 

 folglich auch (8), woraus mit Hülfe von (7) zu schliessen ist, dass 

 q regulär in k ist. 



(lY) Es sei nun q die durch das Primidoal q von k teilbare 

 rationale Primzahl und 



(j' = q'ii, a~() (mod /), 

 wo n prim zu q ist. Ferner sei K ein Normalkörper, welcher k 

 enthält, C ein in c\ aufgehendes Primideal von K, und zwar seien 

 £1^ Cl'' (g=ar) die höchsten in q bez. q aufgehenden Potenzen von 

 O. 



Sei Kt der Trägheitskörper von D. Da dann Qo=^^'' Primideal 

 von Kt ist, welches nur zur ersten Potenz in die rationale Primzahl 

 q aufgeht, so ist Qo regulär in K,. 



Im Relativkörper KjKt ist aber ^« vom ersten Pvelativgrade. 

 Daher ist nach (II) £l regulär in K. 



Nunmehr seien k„ kt der Zerlegungs- und dei- Trägheitskörper 

 von D in Bezug auf k, sodass q* = C/ Primideal in k^ und k, ist. 



Da D regulär in K, und vom ersten Pelativgrade im Relativ- 

 körper Kjkt, so ist nach (II) q* regi^iiar in kt 



Da ferner q^*'- nicht im Relativkörper ktjk, zerfällt, so ist nach 

 {III) q" regulär in k,. 



