tjhvv lias Rec'iprocitütsgcsetz in einem beliebigen algebraischen Zalilkörper. 33 



Es ?ei //. eine heliebige Zahl von k und wie in (1) 

 AVir l)estiinmeii dann ein System von z Zahlen 



fJll, II.,, ; • • lf-2 



gemäss den (Kongruenzen: 



= 1 fmod -^-) 

 \ fil J, 



) = 1, % ■ ■ • z) 



(7 



und wir setzen, wenn v eine zu //, l und zu ni-iu,- - ■ p.,^ prime Zahl 

 von 7,; ist, 



Z^l>.r'^)=-{!iun (/=!, '2, • • ^^) (8) 



In der Tat wird das Syml)ol Zi(//., >) durch diese Festsetzung 

 unzwL'ideutig bestimmt, denn wenn /V eine andere Zahl ist. die 



den ( 'oiiijvuenzt'n (7) genügt, dann ist offenbar — primär, also wie 



IM 



vorhin bemerkt 



Uh^ ^) = (/-</, ^)» 

 wenn nur /^/ prim zu v ist C*). 



Das allgemine Reciprocitätsgeset?: lässt sich nun in der folgen- 

 den Form ausdrücken: 



Satz 15. (Das allgemeine Reciprocilälsgesetz) Wenn v zu [x 

 und zu l prlw. isi, dann (jllt die Bchitto/i : 



(//., v)=Zi(/A v)Z//., V) . . . Z(/., V). (9) 



Beweis. Formel ist dieser Satz eine unmittelbare Folge der 

 Detinitiun des Syndjols Z(u. v). Denn setzt man 



filfi.2 • ■ ■ ff 2 '^■ 



n ß 



wo «, ß zu / prime Zahlen von h sind, dann folgt aus der Gleichung 



U.IJ.=- lt.-, tt. 



(is) Diese Besohränkiuig, sowie die, welche oben der Zahl v auferlegt worden ist, prim v.w 

 (Aj, [}.;, • • • zu sein, ist nicht wesentlich, weil wir eben durch eine andere Wahl des Sys- 

 tems [j-i, [JL^, • • • entkommen. 



