über das Keciprocitätsgesetz in einem beliebigen algebrai seilen Zahlkörper. 35 



Hierbei haben i, Z, v die bisherige Bedeutiuig von U, Z,, v-, ; die 

 Indices sind einfachheitsJialber weggelassen ivorden. 



Beweis. Die dem Primideal 1=1^ entsprecliende Zahl f^i 

 wollen wir einfach mit /^, und demgemäss Z{fi, y) =(//£, v) mit (//, y) 

 bezeichnen. Der erste Teil des Satzes ist evident, Aveil für densel- 

 ben fJ- primär ausfällt. Wir nehnien dalier an, dass t in die Relativ- 

 discriminante von K=Jc(^^) aufgeht, und zwar zunädist dass 

 fx = i"m, wo m zu I prim und a^O (mod l), sodass 'y=<T? ausfällt O. 

 Ferner sei, wie vorausgesetzt 



v' = vf' (mod r^+i), (1 ) 



Wir appelliren an den Satz der Elxistenz unendliclivieler Primideale 

 in jeder Classe von /.• nach einem Ijehebigen ]\Iodul (Satz 2). Ks 

 sei demnach (.0) ein Primideal von /,■ von der Art, dass 



= 1 (mod r'-iiii), (2) 



V = v'(mod-|^4 (3) 



Da die Relativdiscriminante von K ausser der in in aufgehenden 

 nur noc]i das Primideal I als Factor enthält, so folgt aus (2), dass 

 (o) in K zerfallen vjjuss (Satz 4), sodass 



Anderseits folgt aus eben derselben Congruenz (2) 



folglicli ist 



(ß,p)=^ (4) 



Es sei nun eine zu ^ prime Zahl von Je aus der Congruenz 

 v/^/9=l (mod IL) (5) 



bestimmt. Dann ist nach (3), (5) 



.',9^1 (mod ^)_ 



und nacli (1), (2), (5) 



v'^.^ = ç' (mod r^+i). 



(19) Vgl. K. A. s. 26-27. 



