Ü')er das Kecipvoüitätsgesetz in einem beliebigen alijebra Ischen Zahlkörper. 37 



Nach Satz IG i.-^t aber in Rücksicht auf (8) 



sodass nach ('.>) 



(vgl. Satz 15). Aus (7) folgt daher nach Satz 10 



Es hleiht ührig, naclizuweiseM, dass wenn v Normen nichtrest 



nach l/ ist, notwen(hg Zi(/^, v)=|=l ausfallen muss. Wenn (i 



nicht in die Relativdiscriminante von K aufgellt, dann ist nach 



Satz 16 Ziifx, v)=l für jedes zu /j. primes y; in diesem Falle ist aber 



auch jede zu Ii prime Zahl von /.: Norm^urest nach Ii (R. A., S. 28). 



Wenn dagegen l^ in «lie Relativdiscriminante von K aufgeht, dann 



i'i+i 

 ist genau der /-te Teil von den zu i^ primen Znhlclassen mod h 



ih + l 



Normenrest von K nach h • Nach dem oben bewiesenen, ge- 

 nügt es daher nachzuweisen, dass Zi(fi, v) nicht fi"ir jedes zu [^ primes 

 V gleicli 1 ausfallen kann. Dies folgt aber schon daraus, da-> i^ ein 

 Factor des Fülirer.^ f der Classengruppe ist, welche dem Körper K 

 zugeordnet ist, wenn man beachtet, dass nach Satz 16 der Wert 



Vi +1 



des Symbols Z-Xn. ^) nur von der Zahlclassen mod U al »hängt, 



welcher die Zabi v angehurt. Wäre nämlich Z^{n, v) = l für jedes v 

 so folgte 



das lieisse aber dass die gesagte Classengruppe nach dem .Modul 



/'•> + 1 u . + 1 



m I2 • • • W definirt werden könnte, was ausgeschlossen ist. 



Als eine Anwendung des vorhergehenden Satzes wollen wir 

 noch einen Satz beweisen, welcher eine Verallgemeinerung des 

 Eisenstein' sehen Reciprocitätsgesetzes ist. 



Salz 18. Id a euw iiidd darcJi l teilbare r"f,/,oi>/de Zahl, v eine 

 zu a und zu l prime Z'üd ran le f'ir inelche 



y = r(niocl //l!^^ ] n,>a„ (/ = 1, 1, - ■ - z) 



wo r eine' raf 10 aale ZahJ hi'deulri^ dann, /si [/^, >)=1. 



