über das ßeciprocitätsgesetz in einem lieliebigen algebraischen Zahlkörper. 45 



Wenn die Gleichmgen (2) 7iur für die Vo + h totcd positiven Zahlen 

 f,x--f,n,, ^«^1 ■ • • ^^ gelten, dann trird -as noch 2?rimi:(r sein, aber nicht 

 mehr total positiv (^''). 



Beweis. Genau wie bei Satz 8. 



Ferner sei wie frülier 



L = //r^'+i (i=i, 2, . . . ^) 



gesetzt, wulx-i r2)=/A-' die Primlactorzerlegiuig von der Zalil 2 in k 

 ist. Unter den Zahlensystemen: 



CO '^ ■ ■ • iO 



\ h ' 



)ez. 



1 h 1 w 



wo die Exponenten u, u' die Werte 0, 1 haben, gebe es 2"-" bez. 

 2''-^+"'-" hyperprimäre Zahlen, sodass die Zahlensysteme bez. v und 

 v + v' unabhängige quadratische Nichtreste nacli dem Modul L 

 aufweisen. 



Dei- Hang der Classengru^ipe von Ä- nach dem Modul L ist 

 dann im weiteren Sinne 



[L]=A + «o + .:û=[^]+?o, 

 im engeren Sinne: 



wo 



und [I/], [L+] <lie entsprechenden Rangzahlen für den Modul 

 Ij—{\) bedeuten. Daher gibt es .-0+^' Zahlen 



K 4 • • • ^:o+V, (3) 



w^orunter die -0 ersten total positiv sind, welche ausser durch die 

 Idealquadrate nur durch die in 2 aufgehenden Primideale teilbar, 

 und von der in n^ 5 erklärten PJeschaffenheit sind. 



Nmimehr stellen wir einen Satz 9 analogen Satz auf, welcher 

 in ähnlicher Weise wie jener zu beweisen ist. 



Satz 22. Wenn p ein Primideal von der Art ist, dass für die 

 n + ]i-\-]i' ZaJden in (1) und die ,~o+^' Zahlen in (o) 



