46 Art. 5— T. Takagi: 



ausfällt, dann gibt es eine total positive hyperprimare ZaJd w von der 

 Art, dass 



Wenn die Gleichungen (4) nur für die ?io + /i+s'o total positiven Zahle/i 

 in (!) und (3) gelten., dann wird vs irohl hyper primär, aber ni cid mehr 

 total positiv sein ('*). 



§ 13. 



Das quadratische Reciprocitätsgesetz zwischen einer primären 

 und einer beliebigen ungeraden Zahl. 



Das quadratische Reciprocitätsgesetz ist im Wesentlichen in 

 Satz 4 enthalten. Wir wollen uns daher kurz fassen und heginnen 

 mit einem Satz 10 analogen Satz, der sich ohne Umstände erledi- 

 gen lässt. 



Satz 23. Wenn pt primär und v prim zu y und zu 2 ist, dann 

 besteht die Gleichung : 



100 Sgi(y, v) = l, wenn luenigstens eine der beiden mit y und v conju- 

 girten Zahlen in dem reellen Körper Jvip>ositiv ist, dagegen Sg^iy, u) = —1, 

 wenn jene Zahlen beide negativ sind. 

 Beweis. Es sei 



{y)=Vi • • • Vef, 

 wo Pi, • • • Vc die von einander verschiedenen in y aufgehenden 

 Primideale und j ein gewisses Ideal von Ti ist. Ferner seien ii, •• • i,, 

 ein System der Repräsentanten der Basisclassen von h, welches 

 gegen y normirt ist, r ein zu ^ und zu 2 primes Primideal und 



wo p eine Zahl von h, die ebenfalls prim zu y und zu 2 angenom- 

 men wird. 



Da y primär ist, so ist die Relativdiscriminante von K=k(J;/y) 

 gleich f=pi • • • \\. Wir führen nun den Beweis in drei Schritten. 



