über das Reciprocitiltsgesetz in einem beliebigen algebraischen Zahlkörper. 47 



1. Es sei zunächst p. total positiv. Dann ist die dem Körper 

 K zugeordnete Classengruppe von h eine solche, welche ohne Vor- 

 zeichenbedingnng nach dem jModul f definirt werden kann C"). 

 Nach Satz 4 gil)t es daher einen Character /(r) von der Form 



7.{^)={^y\ . . {-^Y iv=o, 1) 



derart, dass für das Primideal r 



r 



Da aber f der Führer der Classengruppe ist, so folgt, dass keiner 

 der Exponenten vi, • - ■ v, verschwinden kann, so-dass 



(f)=(f)=(f). 



Dass nunmehr für jede zu fi und zu '2 prime Zahl v die Gleich- 

 heit gilt: 



beweist man genau wie bei Hülfssatz 5 von § 0. 



2. Es sei nun /^ nicht total positiv und zwar fürs erste m()ge 

 fji nur eine einzige negative conjugirte in Jci besitzen. Dann 

 ist zur Characterisirung der entsprechenden Classengruppe die 

 Vorzeichenbedingung unentbehrlich C"). Aus dieser Tatsache 

 folgert man wie oben die Richtigkeit der Gleichung 



(^)(^_) = 3M..v), 



da hier Sg,(/^ u) = l(i=2, 3, • ■ • n). 



o. Wenn allgemein die Conjugirten von jj. in den t reellen 

 Körpern 7.^, ■ • ■ kt negativ sind, dann bestimmen wir entsprechend 

 t primäre Zahlen /^i, • • • fj.i in k die bez. nur in einem jener t Körpern 

 negative Conjugirten aufweisen, und die sämtlich zu v prim sind. 

 Da dann /i n.^ ■ ■ ■ o.t primär und total positiv sind, so ist nach f 



-)=( — ' — ) 



J^!'-i 



(") K.A., S. 84. 



