SÉANCE DU l5 JUILLET I919. 55 



en un point M de la sphère S dépend pour << 2 A de la conduite de F(0, 0) 

 autour du point W, diamétralement opposé au point i\I sur S. Mais la con- 

 dition (C) de la sommabilitc (G, 0) pour A <^ <^ 2 A 



(C) li„>Jj' = lim r /• ''(^'■9'>SlP(-)f =.0 (X<ô<a;.) (■) 



n'était pas approfondie même dans le cas X = - (série de Laplace). 



L'étude de (C) nous révèle la liaison intime qui lie l'index de somma- 

 bilité < 2 A de la série (i) en un point M avec l'ordre Y[y <; 2 A h- i] d'in- 

 finitude de F(0, '^') au point W. Cette influence de y sur n'a lieu que 

 pour G <; 2 A : la sommabilité (C, 2 A) ne dépend pas (^) de y. Nous allons 

 prouver que (C) est satisfaite pour o>A, si y<X-|-i; si y>A + i, 

 (C) n'est satisfaite que pour > y — i , donc : 



La série ( i) nest pas sommable (C, A <^ o^y — i), ses moyennes d'ordre 

 = y — I oscillent, en restant bornées^ et celles d'ordre <^ y — i oscillent 

 entre -h x e^ — ^\ pour ^ y -- i , la série (1 ) est sommable (C, <^ 2 A) ; 

 elle l'est ( C, >► A), si y !: A 4- i . 



Pour <^ A 4- I , on établit à l'aide de l'inégalité 



(sinoj)"'' ( sin - | s'f'-{'ji) \ < /.(« + i)'"'^ (/ -h i > 6 Ll) 



que Ton a limj^^' = o pour chaque 0^ A. 



ri riz X 



Si y ^ A + I, la formule approximative pour J^/ 



^0 J.f = (-0" — — ; \C [Co+o(.)j + o(.) {d>i) 



r(). + -)r(Ai + i + o) 



prouve notre assertion. Posons e = E(y — A — 1)^0 et soit pour to 



A = 



où F, (0', Zi') ne devient infinie pour to -— 7: que d'ordre y, <; A -h i . 



En substituant (3) dans l^^\ on réduit la preuve de (2) à la recherche de 



C) E. kOGBKTLIANTZ, CoiHplt'S leiidin^ l. IG'i, KJ17, p. 62(), lli. \->. 



