56 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



la formule approximative pour l'intégrale 



/ (cos— I s' y^ '{ to ){ sin fj))^''' ci fj) (/i^o, i, ...,e — i,e). 



Or, la même intégrale, prise de £ jusqu'à t: — £, tend vers zéro avec - 

 puisque s'^'/'^m) = o(i) uniformément dans (z, t: — c) pour o> A. On a 



aussi 



r(lU - + >- 



(cosM s\p-\o)){sin',^y'drj)= ^^ — — +o(i), 



et il suffit de prouver la formule approximative suivante : 



(4) JT = 



0) 



cos — 



2 



r Mr i+x 



r(}.) ^^ ^ 

 r(-')r(n-ô)r(}.+ --a) „^ ^ ^ 



V 2 y v 2 y 1 ( /^ + 2 a ) r /M / X 



X ^ ^ ^ iTT^ KT [l + 0(l)] 4-0(l). 



On prouve (/j), en calculant la fonction génératrice <I>(^) 



^n r ("/, + ^^ r 6. + ^ - aV' + -) f (>• + 1 , >. + ^ , 2/. + 1 - a, h j 



« = 

 2- 



+0+2 A 



où F signifie la fonction hypergéométrique et E — ^(s) = — , _''-)-^ - ^^^^ii 

 appliquant la méthode connue de Darboux. 



$(2) n'a que deux points singuliers :; = i (6 = :>o) et :: = — i (^ = i), où 

 elle devient infinie d'ordres i 4- o et 2a respectivement. 



Dans le cas'particulier A = -, notre théorème complète les résultats de 



M. Gronwall (*), en montrant que la série de Laplace d'une fonction F(6, o), 



absolument intégrable sur S, est sommable (C, o> ^1 en un point M de S, 



(') Math. Annalen. t. 75, 1914, p. 321-875. 



