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pour n =^1 par M. Picard ; pour n >» 2, la deuxième est due à M. Fubini). 



Si Ton veut étudier d'une manière approfondie ces groupes, il est au 

 moins utile de classer leurs substitutions, de les réduire à certaines formes 

 canoniques. Or des propositions, trop longues à énoncer ici, permettent de 

 trouver sans tâtonnement ces formes canoniques pour les substitutions 

 semblables d'une forme quadratique ou hermitienne quelconque^ de discri- 

 minant non nul; on trouve, par exemple, que si la forme a/? carrés négatifs 

 et un nombre quelconque de carrés positifs, la substitution ne peut avoir 

 plus de p couples de multiplicateurs de valeur absolue autre que un. Dans 

 les cas qui nous intéressent ici, on fera la classification d'après le nombre 

 et la nature de ces couples, et d'après le nombre et la nature des diviseurs 

 élémentaires A^, d'ordre /? > i et de multiplicateur égal à un en valeur 

 absolue \p = nombre des variables du diviseur élémentaire dans la forme 

 réduite \=zsx, \ = s(x -\-y), Z =: s(y + z), ...]. On trouve, pour la 

 forme (i) : 



Ou bien 2 couples de multiplicateurs, de valeur absolue différente de m/z, 

 et qui peuvent être: I, réels, donnant lieu à 4 diviseurs élémentaires; 



II, imaginaires; III, deux à deux confondus, formant 2 diviseurs élé- 

 mentaires ; 



Ou bien i couple de tels multiplicateurs et, en outre : IV, un A3 ; 

 V, aucune particularité supplémentaire; 



Ou bien il n'y a pas de multiplicateurs différents de un en valeur 

 absolue, mais : VI, un A^ ; VII, deux A3 réels; VIII, deux A3 imaginaires; 

 IX, un A3 entraînant un carré négatif; X, un A3 entraînant deux carrés 

 négatifs; XI, deux A^ (réalité indifférente); XII, aucune particularité. 



Donc, 12 cas pour n^^, 10 pour /^ = 3, 8 pour /< = 2, 3 pour /i = i. A 

 chaque cas correspond, pour la substitution ou pour son inverse, une seule 

 forme canonique. On peut faire des subdivisions en tenant compte de la 

 parité du riombre des multiplicateurs ± i, et même des égalités qui peuvent 

 avoir lieu entre multiplicateurs correspondant à des diviseurs élémentaires 

 différents et qui influent sur la nature des points doubles : c'est ainsi que, 

 dans ma Thèse de Doctorat, j'ai trouvé 22 cas pour n = 3. 



Pour la forme (2), on trouve seulement : 



I, 1 couple de multiplicateurs /-e'*^, e'^'.r, avec rr^i; II, un A3; 



III, un Ao; IV, pas de particularité. 



Donc, 4 cas pour /i^2, 3 pour7z = i. On peut dire que la substitution 

 est : I, hyperbolique; II, parabolique du deuxième ordre; III, parabolique 



