SÉANCE DU 21 JUILLET 1919. l33 



du premier ordre; IV, elliptique. Même remarque que plus haut pour les 

 égalités supplémentaires entre les multiplicateurs. 



2. Parmi les groupes correspondant à (2), considérons ceux dont le 

 polyèdre fondamental rayonné (') n'a qu'un nombre fini de faces, et dont 

 une fonction automorphe ne peut pas se prolonger analytiquement hors du 

 domaine principal, où (2) est négatif : alors n 4- 1 fonctions automorphes 

 quelconques sont liées par une relation algébrique. La démonstration est, 

 dans certaines parties, beaucoup plus pénible que celle du même fait 

 pour n = 2, que j'ai énoncé précédemment Ç^). 



La marche générale est la même. On démontre successivement que le 

 polyèdre fondamental (quelconque) n'a pas de face sur 



et que le polyèdre fondamental (rayonné) n'a que des sommets isolés sur 

 cette multiplicité. Si A est un tel sommet, toute la difficulté se réduit à 

 trouver le sous-groupe G des substitutions du groupe donné qui con- 

 servent A. On prouve que,G n'a pas de substitution hyperbolique. Si l'on 

 remplace (2) par 



7!— 1 



m z- 1 



A étant le point ^' = i, y, = v, = • • • = v„_, = s = o, toute substitution 

 de G est du type 



n — 1 



n-\ 



Y/ — "V «/.,„/„, + f3„, 3, 



m — 1 

 Z =: Z. 



On trouve que l'expression générale des substitutions de G est 

 E,. P/' ?/;■ P^' . . . Pf^iv ( A = 1 , 2 , . . . , /■ ), 

 E =1, E,, ... E,. étant des substitutions dont les multiplicateurs, sauf 



(') J'ai plusieurs fois déjà employé cette méthode du rayonnement, sur laquelle on 

 trouvera des renseignements généraux dans l'Ouvrage indiqué ci-dessus. 

 (2) Comptes rendus, t/16i, 1917, p. 386. 

 C. R., 1919, 2' Semestre. (T. 1G9, N" 3.) 



