l66 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



A.\AI>YSE MATHÉMATIQUE. — Sur les polynomes d'Euler. 

 Note de M. N.-E. 3Jorlund, présentée par M. Appell. 



I. Soit V un entier non négatif. Considérons l'équation aux différences 

 finies 



ïl y a évidemment un et un seul polynôme qui satisfait à cette équation. Ce 

 polynôme est du degré v. On l'appelle un polynôme (fEuler. Je le désigne 

 par E.,(oo). Ces polynomes ont été étudiés par Hermite et par plusieurs 

 autres auteurs. Je veux démontrer l'existence d'une classe plus générale de 

 polynomes qui sont analogues aux polynomes d'I^uler et qui jouent un rôle 

 considérable dans le calcul aux différences finies. Soient co,, to.^, ..., Lo,^ 

 n nombres quelconques. Posons pour abréger 



V,., V'yx) :z3 ^ [F( .r + r,)) + F(.r)]. V,',', ,„„ F(x) r.: V,„„[V- ,".„,„„_. F(x)]. 



Considérons l'équation aux différences finies 



* ti) , 01 „ 1^ k '^ j —— ^ • 



11 y a un et un seul polynôme en a^ qui satisfait à cette équation. Ce poly- 

 nôme est du degré V. Je le désigne par E!/' (^) ou par E,'/ (x\(x>,, w., ..., to„) 

 et je dis par extension que c'est un polynôme d'Euler d'ordre n et de degré v. 

 On peut ainsi définir une suite infinie de polynomes E./'(j?), E!," (a;), 

 E:/'(a7), . . ., et l'on a en particulier 



De la définition il résulte immédiatement que 



dEi!'{x) 



Xp E<"' (.r) = F-/'-/' {jc) (/> = 1 , 2 // — I ). '^JT-^ ^ ^' KVl^i (>^). 



On a donc, en vertu de la formule de Taylor, 



E:;') (a- + h) =y^ r] h^ F,'!:', (.r ). 



l'^n posant h = to„, ce développement prend la forme 



