SÉANCE DU 28 JUILLET 1919. 167 



A Taide de cette relation de récurrence, on sait déterminer successi- 

 vement tous les polynômes d'Euler d'ordre n, quand on connaît les poly- 

 nômes d'ordre n — i. On sait d'ailleurs d'une manière explicite exprimer 

 les polynômes d'ordre n par les polynômes d'ordre inférieur à 7i. En effet, 

 considérons l'équation 



v/:, ,,.,,, F (^o = ?(-^). 



9(37) étant un polynôme du degré v. On voit aisément que le polynôme F(.r) 

 qui satisfait à cette équation peut s'écrire sous la forme 



F,,r +,•)=!' 2^ IV (,■). 



( )n en conclut que. les polynômes d'Euler satisfont à la relation 



X et )' étant des nombres quelconques. 



1. On appelle nombres cV Enkr une suite de nombres entiers 1%, E,, 

 E^, . . . définis par la relation de récurrence 



2, J ::= O. 



J'en forme une nouvelle suite de nombres E," que je définis par les relalior.s 

 de récurrence 



2 : '--s-'K: '^.^-^ 



2(1)^""'— +2 (^'^"""'^"—^^"' 



Ea quantité E,," est une forme à^ degré v et à coefficients entiers; elle 

 s'exprime par les nombres d'Euler de la manière suivante 



où la sommation est étendue à toutes les valeurs entières, positives ou nulles, 

 de .V,, ^., .. ., s„ qui vérifient la condition 5, -h ^. + . . . -t- ^„= v. 



Eos E," ligurent comme coefficients dans les polynômes d'Iùiler. On a, 



