2o6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



quelconque de F : la méthode consiste à considérer les circonférences a-', qui 

 correspondent aux droites normales, en leurs milieux, aux segments ce' j 

 dans la Géométrie non euclidienne. Or, a' est déterminée ainsi : i° elle est 

 orthogonale à Z; 2° c et c' sont symétriques par rapport à elle. 



Mais c étant à l'infini, c' sera, d'après 2°, le centre de 1' , et dès lors a-' est 

 la circonférence de centre c', orthogonale à It. Traduisons ceci analytique- 

 ment. 



Soit 



(I) -'^^li^, (}o-/av = + i) 



une substitution quelconque de F; c' sera le point analytique À : v, et le 

 carré r-, du rayon de <t', sera la puissance de ce point par rapport à ïi. 



Or, soit A:?-,, -t- B^ r + B;„ -h C ^= o l'équation de H, avec z =^'c, -\- ir\, 

 ^0 = ^ — ^1^, et A, C réels, B et Bo imaginaires conjuguées ; on aura 



[ A >.}.„ 4- Bo ÀVo + B /.(, V + C VVo ] . 



Avv 



X(,, Vo étant les conjugués de A, v. , 



D'ailleurs, 1 se transformant en elle-même par (i), on en déduit facile- 

 ment la relation 



AÀ/y -h Bo}.v„ -H BÀoV + Cvvo — ±: A ; d'où /•- =: ± — ; 



c'est évidemment 4- qui convient puisque, c' étant à l'extérieur de i!, /•- est 

 a prion positif; on a donc pour 7', que nous appellerons la circonférence 



(a, v), de centre - et de rayon -==, l'équation 



'^ y/vv„ 



(*2> (vc — ?.)(vo3û— Ào) — I =0, (}.o, Vo conjugués de >.,v). 



Cela posé, pour obtenir un domaine de F, on cherchera à former une 

 région extérieure à Z, comprenant le point oc, limitée par des arcs de cir- 

 conférences (a, v) (et, peut-être, par des arcs de il) et dans laquelle ne 

 pénétre aucune circonférence (À, v). Analytiquement^ ce sera la région 

 extérieure à ^ définie par les inégalités 



(3) (v:: — >,)(voC„ — /.o) — 110, {z^i-^-i-n^ z^=l — irt). 



où X et V prennent tous les systèmes de valeurs qui répondent aux substitu- 

 tions (i) de F. Les mêmes inégalités définiraient, à l'intérieur de ^, un 

 domaine fondamental de F, symétrique du précédent par rapport à F. 



