SÉANCE DU 4 AOUT I9I9. "207 



Le procédé, on le voit, est, dans l'application, analogue à celui de la 

 symétrie. 



3. Substitutions génératrices de Y . — Soient (A,, v, ), ( Ao, v^>), ... les cir- 

 conférences (A,v) dont des arcs sont cotés du domaine D trouvé. Il est 

 aisé de voir que la substitution (i ), soit S/, qui correspond aux valeurs À,, v/ 

 de A, V change D en un domaine adjacent à D le long d'un côté; S, change 

 donc un côté de D en un autre, de sorte que les S/ sont les substitutions 

 génératrices de F; on obtient donc celles-ci sans calcul dès qu'on a formé 

 le domaine. 



Gela implique qu'il n'y a, dans F, qu'une substitution répondant à A et v 

 donnés : or c'est une conséquence de l'hypothèse que te n'est point double 

 d'aucune substitution de F. De même, il n'y a pas, dans F, deux substitu- 

 tions distinctes ayant même A : v; en sorte que deux circonférences (A, v) ne 

 sont jamais concentriques. 



4. Remarque l. — Considérons la forme d'Hermile positive 



où x^ y sont des indéterminées, et une constante donnée, et x^^y^^^ 0^ leurs 

 conjuguées respectives : il résulte de (3) que, si l'on donne àx,^ les valeurs 

 A, V, qui répondent aux substitutions de F, et si le point affixe de est 

 dansD, le minimum de la forme sera au plus i; la valeur i est d'ailleurs 

 atteinte pour A = i, v — o, valeurs qui répondent à la substitution unité. 



On aurait pu présenter autrement la théorie en appelant réduite une 

 forme du type ci-dessus pour laquelle le minimum est i (quand r, y 

 prennent les valeurs X, v), et domaine de réduction la région du plan (à 

 l'extérieur de 1) où sont situés les points affixes des zéros des formes 

 réduites : on aurait démontré ensuite que ce domaine de réduction est un 

 domaine fondamental de F ('). 



Remarque II. — Si ce est point double d'une substitution {elliptique^ 

 nécessairement ) de F, le second point double est le centre O de 2. On en 

 déduit que la région D, trouvée à l'aide des circonférences (A, v ), revient 



sur elle-même par une rotation de ^ autour de O ; alors un domaine de F 



( ') Voir à ce sujel une Note des Comptes rendus, l. 162, Kji^i, p. 697 . 



