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sera, non pasD, mais la partie de D comprise entre deux droites quelconques 

 issues de O et faisant l'angle -p ( ')• 



5. Groupe sans cercle principal . — Il faut chercher le domaine Y dans le 

 demi-espace (^, y], t) de Poincarc. 



Pour éviter une indétermination, ne partons pas cette fois du point se, 

 mais d'un point quelconque, c, du demi-espace, de coordonnées r, j, //; 

 posons oj ^= € -h iy. 



Soit c' le transformé de c par l'opération qui répond à (i), dans l'exten- 

 sion du groupe F à l'espace; désignons par x', y', h' ses coordonnées, et 

 posons CD '=: .T-t- ï"y'. Pour appliquer la méthode du rayonnement, il faut 

 considérer la sphère, t', qui a son centre dans le plan t = o et par rapport à 

 laquelle cet c sont symétriques. Or, en général, les sphères par rapport 

 auxquelles c et c' sont symétriques sont celles d'un faisceau ayant pour 

 équation 



(4) (z — r^) ('C„— f.J„) + (T— /0'+ /.[(- — 0/)(.-„— r,);,)+ (7— //)-] = 0. 



Dans ( 4 ), on pose toujours z = ^ -+- i-/]; et, d'une manière générale, //^ est 

 l'imaginaire conjugué de ?/; les coordonnées courantes sont ç, yj, t, et X- 

 désigne un paramètre arbitraire. Quant aux co', a)|,, h', ils satisfont, d'après 

 Poincaré, aux relations : 



\ A /; (■ 



^^ ~ D ' '•'^" ^ U ' D ' ^* ''*" "^ ÏT' 



étant posé : 



A = ?. v„ //' + ( À OJ + iJ. ) ( -A, o)o 4- Pû ) ; 



On déterminera X-, dans ("4)5 P^^r la condition que la sphère (4) ait son 

 centre dans le plan t = o; désignant par Xm la norme àe w, c'est-à-dire z///,,, 

 on trouve ainsi, pour équation de la sphère a' : 



(5) A2[vv„r^+0b(vc-/.) — i] 



-+ 7'- X ( V r.) 4- p ) + cDb [ :; ( V w + p ) — ( X ç,j + /j. ) ] — T- — i)^ ( ; -- ,w ) = o. 



On aurait un domaine de F en cherchant une région limitée par des por- 

 tions de sphères (5) ; mais l'équation (5) est trop compliquée pour qu'on 



C) Voir dans la même Note (n" 4) un exemple du cas particulier de \di Remarque II : 

 h est alors égal à 2. 



